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第9行： − + − 微分方程和动力系统定性理论的许多部分关心系统或者方程解的渐近性质及其轨迹，这也意味着系统经过很长时间后会发生什么。系统最简单的行为表现为<font color="#ff8000">平衡点 Equilibrium points</font>或不动点，以及<font color="#ff8000">周期轨道 Periodic orbit</font>。如果我们已经很好地理解了一个特定的轨道，那么很自然地就会问下一个问题：初始条件的一个微小变化对于系统来说是否仍会保持类似的行为。稳定性理论解决了以下问题：附近的轨道是否会无限靠近给定的轨道？已知的轨道会收敛到给定的轨道吗？在前一种情况下，轨道被称为是<font color="#ff8000">稳定 Stable</font>的；在后一种情况下，轨道是<font color="#ff8000">渐近稳定 Asymptotically stable </font>的，并且收敛到给定的轨道称为<font color="#ff8000">吸引子 Attractor</font>。+ 第27行：
第27行： − 最简单的一种轨道就是一个不动点，称为平衡态，或者叫做平衡点。如果一个力学系统处于稳定的平衡状态，那么只需要一个很小的推力就会导致局部运动的发生，例如，类似钟摆那样的小规模的振动。在有阻尼的系统中，稳定的平衡态是渐近稳定的。另一方面，对于一个不稳定的平衡，例如一个球停留在山顶的最高顶点上，一个极其微小的推力就会导致一个大幅度的运动，这个运动可能会也可能不会收敛到原始状态。+ 第59行：
第59行： − 如我们所知，线性系统是一类数学模型，指的是由线性运算子组成的系统，也就是说，这类系统首先满足线性的特性。相较于非线性系统，线性系统的特性比较简单。+ 第105行：
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常微分方程在经历了长期的求精确解的努力后逐渐停滞，庞加莱在分析的基础上引入几何方法，开创了常微分方程定性理论，同时在分析中引入几何方法，搭建起分析与几何之间的沟通桥梁，带来了微分方程研究的新突破。李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基础上 ,转而进入了新的稳定性研究。如今 ,李雅普诺夫稳定性理论被普遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一。不仅有精确的定义 ,更有严格的分析证明 ,将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人，他在数学方面的杰出工作对20世纪和当今的数学造成极其深远的影响。<font color="#ff8000">庞加莱映射 Poincaré map</font>是由相空间中轨道运动定义的一种映射，是当轨道反复穿越同一截面时，反映后继点对先行点依赖关系的映射。一个连续非线性动力系统的求解是非常困难的，庞加莱给出了相图分析法。在相图中虽然不能定量地知道物理量随时间的变化，但可以定性地得到轨线的形态类型及其拓扑结构，从而了解动力系统运动的全局图像。为了更清楚了解高维相空间运动的形态，在连续运动的轨线上用一个截面（称庞加莱截面）将其横截，轨线在截面上穿过的情况就可以简捷地判断运动的形态。对于庞加莱映射是稳定的还是不稳定的判断则取决于其特征，如图所示，在相空间区间中向下的方向上稳定性增加。
常微分方程在经历了长期的求精确解的努力后逐渐停滞，庞加莱在分析的基础上引入几何方法，开创了常微分方程定性理论，同时在分析中引入几何方法，搭建起分析与几何之间的沟通桥梁，带来了微分方程研究的新突破。李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基础上 ,转而进入了新的稳定性研究。如今 ,李雅普诺夫稳定性理论被普遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一。不仅有精确的定义 ,更有严格的分析证明 ,将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人，他在数学方面的杰出工作对20世纪和当今的数学造成极其深远的影响。<font color="#ff8000">庞加莱映射 Poincaré map</font>是由相空间中轨道运动定义的一种映射，是当轨道反复穿越同一截面时，反映后继点对先行点依赖关系的映射<ref>Perko. Differential equations and dynamical systems[M]. Springer, 2001.</ref>。一个连续非线性动力系统的求解是非常困难的，庞加莱给出了相图分析法。在相图中虽然不能定量地知道物理量随时间的变化，但可以定性地得到轨线的形态类型及其拓扑结构，从而了解动力系统运动的全局图像。为了更清楚了解高维相空间运动的形态，在连续运动的轨线上用一个截面（称庞加莱截面）将其横截，轨线在截面上穿过的情况就可以简捷地判断运动的形态。对于庞加莱映射是稳定的还是不稳定的判断则取决于其特征，如图所示，在相空间区间中向下的方向上稳定性增加。
==动力系统概述==
==动力系统概述==
微分方程和动力系统定性理论的许多部分关心系统或者方程解的渐近性质及其轨迹，这也意味着系统经过很长时间后会发生什么 <ref>Palis J , Melo W D . Geometric theory of dynamical systems[J]. Springer-Verlag, 1982, 10.1007/978-1-4612-5703-5.</ref>。系统最简单的行为表现为<font color="#ff8000">平衡点 Equilibrium points</font>或不动点，以及<font color="#ff8000">周期轨道 Periodic orbit</font>。如果我们已经很好地理解了一个特定的轨道，那么很自然地就会问下一个问题：初始条件的一个微小变化对于系统来说是否仍会保持类似的行为。稳定性理论解决了以下问题：附近的轨道是否会无限靠近给定的轨道？已知的轨道会收敛到给定的轨道吗？在前一种情况下，轨道被称为是<font color="#ff8000">稳定 Stable</font>的；在后一种情况下，轨道是<font color="#ff8000">渐近稳定 Asymptotically stable </font>的，并且收敛到给定的轨道称为<font color="#ff8000">吸引子 Attractor</font><ref>Zaslavsky G M . The simplest case of a strange attractor[J]. Physics Letters A, 1978, 69(3):145-147.</ref>。
对于一个一阶常微分方程自治系统的平衡解<math>f_e</math>：
对于一个一阶常微分方程自治系统的平衡解<math>f_e</math>：
==不动点稳定性==
==不动点稳定性==
最简单的一种轨道就是一个不动点，称为平衡态，或者叫做平衡点。如果一个力学系统处于稳定的平衡状态，那么只需要一个很小的推力就会导致局部运动的发生，例如，类似钟摆那样的小规模的振动。在有阻尼的系统中，稳定的平衡态是渐近稳定的<ref> Hui Y , Michel A N , Ling H . Stability theory for hybrid dynamical systems[C]// IEEE Conference on Decision & Control. IEEE, 2002.</ref>。另一方面，对于一个不稳定的平衡，例如一个球停留在山顶的最高顶点上，一个极其微小的推力就会导致一个大幅度的运动，这个运动可能会也可能不会收敛到原始状态。
对于线性系统而言，存在许多行之有效的测试方法来检验线性系统的稳定性。非线性系统的稳定性通常可以首先考虑其线性化的系统，并从其线性化系统的稳定性中推断出原非线性系统的稳定性。
对于线性系统而言，存在许多行之有效的测试方法来检验线性系统的稳定性。非线性系统的稳定性通常可以首先考虑其线性化的系统，并从其线性化系统的稳定性中推断出原非线性系统的稳定性。
===线性自治系统===
===线性自治系统===
如我们所知，线性系统是一类数学模型，指的是由线性运算子组成的系统，也就是说，这类系统首先满足线性的特性<ref>Luenberger D G . Observing the State of a Linear System[J]. IEEE Transactions on Military Electronics, 2007, 8(2):74-80.</ref>。相较于非线性系统，线性系统的特性比较简单。
根据系统矩阵A是否随时间变化，引入<font color="#ff8000">自治系统 autonomous system</font>的概念后，可以把线性系统分为自治的和非自治的，对于线性系统一般也可以称为定常的和时变的，也就是说：
根据系统矩阵A是否随时间变化，引入<font color="#ff8000">自治系统 autonomous system</font>的概念后，可以把线性系统分为自治的和非自治的，对于线性系统一般也可以称为定常的和时变的，也就是说：
==一般动力系统的李雅普诺夫函数==
==一般动力系统的李雅普诺夫函数==
李雅普诺夫函数 Lyapunov functions在稳定性分析和控制理论中都起着重要的作用，它的应用使得许多领域中的一系列问题的解决变得相对容易，尤其是在一些应用型的分析领域中。在常微分方程理论中，可用它来证明常微分方程平衡点的稳定性。所以我们建立动力系统的李雅普诺夫稳定性或渐近稳定的一般方法即是利用李亚普诺夫函数来分析。
李雅普诺夫函数 Lyapunov functions在稳定性分析和控制理论中都起着重要的作用，它的应用使得许多领域中的一系列问题的解决变得相对容易，尤其是在一些应用型的分析领域中。在常微分方程理论中，可用它来证明常微分方程平衡点的稳定性<ref>Branicky, M. S . Multiple Lyapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems[J]. IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL AC, 1998, 43(4):475-482.</ref>。所以我们建立动力系统的李雅普诺夫稳定性或渐近稳定的一般方法即是利用李亚普诺夫函数来分析。
==拓展阅读==
==拓展阅读==