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第7行： − 直到2000年中期人们才完全理解看似简单的数学上的同步模型<ref name="DrosselRbn">{{cite book|last1=Drossel|first1=Barbara|editor1-last=Schuster|editor1-first=Heinz Georg|title=Chapter 3. Random Boolean Networks|date=December 2009|doi=10.1002/9783527626359.ch3|arxiv=0706.3351|series=Reviews of Nonlinear Dynamics and Complexity|publisher=Wiley|pages=69–110|isbn=9783527626359|chapter=Random Boolean Networks}}</ref>。+ + − + + + + 第29行：
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第141行： − The state of a given node <math> n_{i} </math> is updated according to its [[truth table]], whose outputs are randomly populated. <math> p_{i} </math> denotes the probability of assigning an off output to a given series of input signals.+ − − The state of a given node <math> n_{i} </math> is updated according to its truth table, whose outputs are randomly populated. <math> p_{i} </math> denotes the probability of assigning an off output to a given series of input signals.给给定的一系列输入信号分配一个off输出的概率。 − − − − − If <math> p_{i}=p=const. </math> for every node, the transition between the stable and chaotic range depends on <math> p </math>. According to [[Bernard Derrida]] and [[Yves Pomeau]]<ref>{{Cite journal|title = Random Networks of Automata: A Simple Annealed Approximation|url = http://stacks.iop.org/0295-5075/1/i=2/a=001?key=crossref.8cf81041d96c6144f3a397d9cf72cf09|journal = Europhysics Letters (EPL)|date = 1986-01-15|pages = 45–49|volume = 1|issue = 2|doi = 10.1209/0295-5075/1/2/001|first = B|last = Derrida|first2 = Y|last2 = Pomeau|bibcode = 1986EL......1...45D}}</ref> − − If <math> p_{i}=p=const. </math> for every node, the transition between the stable and chaotic range depends on <math> p </math>. According to Bernard Derrida and Yves Pomeau − − 如果 <math>p_{i}=p=const.</math> 对于每一个节点，稳定和混沌范围之间的转换取决于 <math>p</math> 。根据伯纳德-德里达和伊夫-波莫的观点 − , the critical value of the average number of connections is <math> K_{c}=1/[2p(1-p)] </math>. − − , the critical value of the average number of connections is <math> K_{c}=1/[2p(1-p)] </math>. − − ， 平均连接数的临界值为 <math>K_{c}=1/[2p(1-p)]</math>。 − − − If <math> K </math> is not constant, and there is no correlation between the in-degrees and out-degrees, the conditions of stability is determined by <math> \langle K^{in}\rangle </math><ref>{{Cite journal|title = Phase transitions and antichaos in generalized Kauffman networks|journal = Physics Letters A|date = 1995-01-02|pages = 331–334|volume = 196|issue = 5–6|doi = 10.1016/0375-9601(94)00876-Q|first = Ricard V.|last = Solé|first2 = Bartolo|last2 = Luque|bibcode = 1995PhLA..196..331S}}</ref><ref>{{Cite journal|title = Phase transitions in random networks: Simple analytic determination of critical points|journal = Physical Review E|date = 1997-01-01|pages = 257–260|volume = 55|issue = 1|doi = 10.1103/PhysRevE.55.257|first = Bartolo|last = Luque|first2 = Ricard V.|last2 = Solé|bibcode = 1997PhRvE..55..257L}}</ref><ref>{{Cite journal|title = From topology to dynamics in biochemical networks |journal = Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science|date = 2001-12-01|issn = 1054-1500|pages = 809–815|volume = 11|issue = 4|doi = 10.1063/1.1414882|pmid = 12779520 |first = Jeffrey J.|last = Fox|first2 = Colin C.|last2 = Hill|bibcode = 2001Chaos..11..809F}}</ref> The network is stable if <math>\langle K^{in}\rangle <K_{c}</math>, critical if <math>\langle K^{in}\rangle =K_{c}</math>, and unstable if <math>\langle K^{in}\rangle >K_{c}</math>.+ − If <math> K </math> is not constant, and there is no correlation between the in-degrees and out-degrees, the conditions of stability is determined by <math> \langle K^{in}\rangle </math> The network is stable if <math>\langle K^{in}\rangle <K_{c}</math>, critical if <math>\langle K^{in}\rangle =K_{c}</math>, and unstable if <math>\langle K^{in}\rangle >K_{c}</math>. − + − The conditions of stability are the same in the case of networks with [[Scale-free network|scale-free]] [[network topology|topology]] where the in-and out-degree distribution is a power-law distribution: <math> P(K) \propto K^{-\gamma} </math>, and <math>\langle K^{in} \rangle=\langle K^{out} \rangle </math>, since every out-link from a node is an in-link to another.<ref>{{Cite journal|title = A natural class of robust networks|journal = Proceedings of the National Academy of Sciences|date = 2003-07-22|issn = 0027-8424|pmc = 166377|pmid = 12853565|pages = 8710–8714|volume = 100|issue = 15|doi = 10.1073/pnas.1536783100|first = Maximino|last = Aldana|first2 = Philippe|last2 = Cluzel|bibcode = 2003PNAS..100.8710A}}</ref> − The conditions of stability are the same in the case of networks with scale-free topology where the in-and out-degree distribution is a power-law distribution: <math> P(K) \propto K^{-\gamma} </math>, and <math>\langle K^{in} \rangle=\langle K^{out} \rangle </math>, since every out-link from a node is an in-link to another.+ − 对于'''<font color="#FF8000">无标度拓扑 scale-free topology </font>'''的网络来说，稳定性的条件是一样的，其中的出入度分布是幂律分布。<math>P(K) \propto K^{-\gamma}</math>, 和 <math>\langle K^{in}\rangle=\langle K^{out} \rangle</math> ，因为从一个节点发出的每一条外链都是到另一个节点的内链。 − Sensitivity shows the probability that the output of the Boolean function of a given node changes if its input changes. For random Boolean networks,+ + − Sensitivity shows the probability that the output of the Boolean function of a given node changes if its input changes. For random Boolean networks, − 灵敏度显示了给定节点的布尔函数的输出在其输入变化时发生变化的概率。对于随机布尔网络。+ − − <math> q_{i}=2p_{i}(1-p_{i}) </math>. In the general case, stability of the network is governed by the largest eigenvalue <math> \lambda_{Q} </math> of matrix <math> Q </math>, where <math> Q_{ij}=q_{i}A_{ij} </math>, and <math> A </math> is the adjacency matrix of the network. The network is stable if <math>\lambda_{Q}<1</math>, critical if <math>\lambda_{Q}=1</math>, unstable if <math>\lambda_{Q}>1</math>.+ + − <math> q_{i}=2p_{i}(1-p_{i}) </math>。在一般情况下，网络的稳定性由最大的特征值<math>\lambda_{Q}</math>来控制。的矩阵 <math>Q</math>，其中<math> Q_{ij}=q_{i}A_{ij}</math>，<math>A</math> 是网络的邻接矩阵。如果 <math>\lambda_{Q}<1</math>，网络是稳定的；如果 <math>\lambda_{Q}=1</math>，网络是临界的；如果 <math>\lambda_{Q}>1</math>，网络是不稳定的。+ − ==Variations of the model==+ − 模型的变化<br> − + − 其他拓扑性质<br>+ + + − One theme is to study '''different underlying [[Graph topology|graph topologies]]'''.+ − One theme is to study different underlying graph topologies. − 一个主题是研究不同的基础图拓扑结构。+ − *The homogeneous case simply refers to a grid which is simply the reduction to the famous [[Ising model]].+ − *'''<font color="#FF8000">同质情况 Homogeneous Case </font>'''只是指网格，它只是对著名的'''<font color="#FF8000">伊辛模型 lsing model </font>'''的还原。+ − *[[Scale-free network|Scale-free]] topologies may be chosen for Boolean networks.<ref name="AldanaScaleFree">{{cite journal|last1=Aldana|first1=Maximino|title=Boolean dynamics of networks with scale-free topology|journal=Physica D: Nonlinear Phenomena|date=October 2003|volume=185|issue=1|pages=45–66|doi=10.1016/s0167-2789(03)00174-x|arxiv=cond-mat/0209571|bibcode=2003PhyD..185...45A}}</ref> One can distinguish the case where only in-degree distribution in power-law distributed,<ref name="ScaleFreeInDegree">{{cite journal|last1=Drossel|first1=Barbara|last2=Greil|first2=Florian|title=Critical Boolean networks with scale-free in-degree distribution|journal=Physical Review E|date=4 August 2009|volume=80|issue=2|pages=026102|doi=10.1103/PhysRevE.80.026102|pmid=19792195|arxiv=0901.0387|bibcode=2009PhRvE..80b6102D}}</ref> or only the out-degree-distribution or both.+ + + − ==Other updating schemes==+ − 其他更新方案<br> − Classical Boolean networks (sometimes called '''CRBN''', i.e. Classic Random Boolean Network) are synchronously updated. Motivated by the fact that genes don't usually change their state simultaneously,<ref name="HarveyBossomaier1997">{{cite book|last1=Harvey|first1=Imman|last2=Bossomaier|first2=Terry|editor1-last=Husbands|editor1-first=Phil|editor2-last=Harvey|editor2-first=Imman|title=Time out of joint: Attractors in asynchronous random Boolean networks|journal=Proceedings of the Fourth European Conference on Artificial Life (ECAL97)|date=1997|pages=67–75|url=https://books.google.de/books?id=ccp8fzlyorAC&pg=PA67|publisher=MIT Press|isbn=9780262581578}}</ref> different alternatives have been introduced. A common classification<ref name="Gershenson2004">{{cite book|last1=Gershenson|first1=Carlos|editor1-last=Standish|editor1-first=Russell K|editor2-last=Bedau|editor2-first=Mark A|title=Classification of Random Boolean Networks|journal=Proceedings of the Eighth International Conference on Artificial Life|date=2002|volume=8|pages=1–8|url=https://books.google.de/books?id=si_KlRbL1XoC&pg=PA1|accessdate=12 January 2016|arxiv=cs/0208001|series=Artificial Life|location=Cambridge, Massachusetts, USA|isbn=9780262692816|bibcode=2002cs........8001G}}</ref> is the following: − Classical Boolean networks (sometimes called CRBN, i.e. Classic Random Boolean Network) are synchronously updated. Motivated by the fact that genes don't usually change their state simultaneously, different alternatives have been introduced. A common classification is the following:+ + − 经典布尔网络（有时也称为CRBN，即经典随机布尔网络）是同步更新的。受基因通常不会同时改变其状态这一事实的激励，人们引入了不同的替代方案。常见的分类如下: − *'''Deterministic asynchronous updated Boolean networks''' ('''DRBN'''s) are not synchronously updated but a deterministic solution still exists. A node ''i'' will be updated when ''t ≡ Q<sub>i</sub> (''mod'' P<sub>i</sub>)'' where ''t'' is the time step.<ref name="GershensonDrbn">{{cite book|last1=Gershenson|first1=Carlos|last2=Broekaert|first2=Jan|last3=Aerts|first3=Diederik|title=Contextual Random Boolean Networks|journal=Advances in Artificial Life|date=14 September 2003|volume=2801|pages=615–624|doi=10.1007/978-3-540-39432-7_66|arxiv=nlin/0303021|series=Lecture Notes in Computer Science|trans-title=7th European Conference, ECAL 2003|location=Dortmund, Germany|isbn=978-3-540-39432-7}}</ref> − 当 ''t≡Q<sub>i</sub>(''mod''P<sub>i</sub>)'' 其中 ''t'' 是时间步长时，''i'' 节点将被更新。'''确定性异步更新布尔网络'''('''DRBNs''')不是同步更新，但确定性解仍然存在。当 ''t≡Q<sub>i</sub>(''mod''P<sub>i</sub>)'' 时，''i'' 节点将被更新，其中 ''t'' 是时间步长。 − *The most general case is full stochastic updating ('''GARBN''', general asynchronous random boolean networks). Here, one (or more) node(s) are selected at each computational step to be updated. − *最一般的情况是完全随机更新（'''GARBN'''，一般异步随机布尔网络）。在这里，在每个计算步骤中选择一个（或多个）节点进行更新。 − *The '''Partially-Observed Boolean Dynamical System (POBDS)'''<ref>{{Cite journal|last=Imani|first=M.|last2=Braga-Neto|first2=U. M.|date=2017-01-01|title=Maximum-Likelihood Adaptive Filter for Partially Observed Boolean Dynamical Systems|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|volume=65|issue=2|pages=359–371|doi=10.1109/TSP.2016.2614798|issn=1053-587X|arxiv=1702.07269|bibcode=2017ITSP...65..359I}}</ref><ref>{{Cite book|pages=972–976|last=Imani|first=M.|last2=Braga-Neto|first2=U. M.|language=en-US|doi=10.1109/GlobalSIP.2015.7418342|chapter=Optimal state estimation for boolean dynamical systems using a boolean Kalman smoother|year=2015|isbn=978-1-4799-7591-4|title=2015 IEEE Global Conference on Signal and Information Processing (GlobalSIP)}}</ref><ref>{{Cite book|last=Imani|first=M.|last2=Braga-Neto|first2=U. M.|language=en-US|doi=10.1109/ACC.2016.7524920|title=2016 American Control Conference (ACC)|pages=227–232|year=2016|isbn=978-1-4673-8682-1}}</ref><ref>{{Cite book|last=Imani|first=M.|last2=Braga-Neto|first2=U.|date=2016-12-01|title=Point-based value iteration for partially-observed Boolean dynamical systems with finite observation space|journal=2016 IEEE 55th Conference on Decision and Control (CDC)|pages=4208–4213|doi=10.1109/CDC.2016.7798908|isbn=978-1-5090-1837-6}}</ref> signal model differs from all previous deterministic and stochastic Boolean network models by removing the assumption of direct observability of the Boolean state vector and allowing uncertainty in the observation process, addressing the scenario encountered in practice. − ==Application of Boolean Networks ==+ − 布尔网络的应用<br>+ − + − 分类<br>+ + − *The '''Scalable Optimal Bayesian Classification'''<ref name=":bmdl">Hajiramezanali, E. & Imani, M. & Braga-Neto, U. & Qian, X. & Dougherty, E.. Scalable Optimal Bayesian Classification of Single-Cell Trajectories under Regulatory Model Uncertainty. ACMBCB'18. https://dl.acm.org/citation.cfm?id=3233689</ref> developed an optimal classification of trajectories accounting for potential model uncertainty and also proposed a particle-based trajectory classification that is highly scalable for large networks with much lower complexity than the optimal solution.+ − '''<font color="#FF8000">可伸缩的最佳贝叶斯分类 Scalable Optimal Bayesian Classification </font>''' <ref name=":bmdl">Hajiramezanali, E. & Imani, M. & Braga-Neto, U. & Qian, X. & Dougherty, E.. Scalable Optimal Bayesian Classification of Single-Cell Trajectories under Regulatory Model Uncertainty. ACMBCB'18. https://dl.acm.org/citation.cfm?id=3233689</ref>开发了一种考虑潜在模型不确定性的轨迹最优分类，还提出了一种基于粒子的轨迹分类，对于大型网络具有高度的可扩展性，复杂度比最优解低得多。 − + − *[[NK model]]<!-- to be merged here -->+ − + − +
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'''<font color="#FF8000">布尔函数Boolean function</font>'''是一种可用于通过逻辑类型的计算来评估与其布尔输入有关的任何布尔输出的函数。这些功能在复杂性理论中起着基本作用。当布尔函数应用于复杂网络中时，我们定义了'''<font color="#FF8000">布尔网络 Boolean Network </font>'''的概念：布尔网络是由一组离散的布尔变量组成，每个变量都被分配了一个布尔函数（可能每个变量都不同），它从这些变量的子集中获取输入，并输出决定其被分配的变量的状态。
'''<font color="#FF8000">布尔函数Boolean function</font>'''是一种可用于通过逻辑类型的计算来评估与其布尔输入有关的任何布尔输出的函数。这些功能在复杂性理论中起着基本作用。当布尔函数应用于复杂网络中时，我们定义了'''<font color="#FF8000">布尔网络 Boolean Network </font>'''（简称BN）的概念：布尔网络是由一组离散的布尔变量组成，每个变量都被分配了一个布尔函数（可能每个变量都不同），它从这些变量的子集中获取输入，并输出决定其被分配的变量的状态。
这一组函数实际上决定了变量集上的拓扑结构（连通性），这些变量就成为网络中的节点。每个变量的状态都由二进制1（开）和0（关）表示，每个模型都有着对应的逻辑规则表，每个变量的邻接变量可以在逻辑规则表的作用下得到自己的状态。由布尔表达式即可看出各个变量之间的逻辑关系。通常，系统的动态是以离散时间序列的形式进行的，通过评估每个变量在时间 ''t'' 的网络状态上的函数来确定整个网络在时间 ''t+1''的状态，这可能是同步或异步完成的<ref>{{cite journal|last1=Naldi|first1=A.|last2=Monteiro|first2=P. T.|last3=Mussel|first3=C.|last4=Kestler|first4=H. A.|last5=Thieffry|first5=D.|last6=Xenarios|first6=I.|last7=Saez-Rodriguez|first7=J.|last8=Helikar|first8=T.|last9=Chaouiya|first9=C.|title=Cooperative development of logical modelling standards and tools with CoLoMoTo|journal=Bioinformatics|date=25 January 2015|volume=31|issue=7|pages=1154–1159|doi=10.1093/bioinformatics/btv013|pmid=25619997|doi-access=free}}<nowiki></ref>。
这一组函数实际上决定了变量集上的拓扑结构（连通性），这些变量就成为网络中的节点。每个变量的状态都由二进制1（开）和0（关）表示，每个模型都有着对应的逻辑规则表，每个变量的邻接变量可以在逻辑规则表的作用下得到自己的状态。由布尔表达式即可看出各个变量之间的逻辑关系。通常，系统的动态是以离散时间序列的形式进行的，通过评估每个变量在时间 ''t'' 的网络状态上的函数来确定整个网络在时间 ''t+1''的状态，这可能是同步或异步完成的<ref>{{cite journal|last1=Naldi|first1=A.|last2=Monteiro|first2=P. T.|last3=Mussel|first3=C.|last4=Kestler|first4=H. A.|last5=Thieffry|first5=D.|last6=Xenarios|first6=I.|last7=Saez-Rodriguez|first7=J.|last8=Helikar|first8=T.|last9=Chaouiya|first9=C.|title=Cooperative development of logical modelling standards and tools with CoLoMoTo|journal=Bioinformatics|date=25 January 2015|volume=31|issue=7|pages=1154–1159|doi=10.1093/bioinformatics/btv013|pmid=25619997|doi-access=free}}<nowiki></ref>。
布尔网络在生物学中已被用于模拟'''<font color="#FF8000">调节网络 Regulatory Networks </font>'''。虽然布尔网络是对遗传现实的粗略简化，基因不是简单的二进制开关，但在一些情况下，它们正确地捕捉了表达和抑制基因的正确模式<ref>{{cite journal|last1=Albert|first1=Réka|last2=Othmer|first2=Hans G|title=The topology of the regulatory interactions predicts the expression pattern of the segment polarity genes in Drosophila melanogaster|journal=Journal of Theoretical Biology|date=July 2003|volume=223|issue=1|pages=1–18|doi=10.1016/S0022-5193(03)00035-3|pmid=12782112|pmc=6388622|citeseerx=10.1.1.13.3370}}<!--|accessdate=25 November 2014--></ref><ref>{{cite journal|last1=Li|first1=J.|last2=Bench|first2=A. J.|last3=Vassiliou|first3=G. S.|last4=Fourouclas|first4=N.|last5=Ferguson-Smith|first5=A. C.|last6=Green|first6=A. R.|title=Imprinting of the human L3MBTL gene, a polycomb family member located in a region of chromosome 20 deleted in human myeloid malignancies |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|date=30 April 2004 |volume=101|issue=19 |pages=7341–7346 |doi=10.1073/pnas.0308195101|pmid=15123827 |pmc=409920|bibcode = 2004PNAS..101.7341L }}</ref>。
布尔网络在生物学中已被用于模拟'''<font color="#FF8000">调节网络 Regulatory Networks </font>'''。虽然布尔网络是对遗传现实的粗略简化，基因不是简单的二进制开关，但在一些情况下，它们正确地捕捉了表达和抑制基因的正确模式<ref>{{cite journal|last1=Albert|first1=Réka|last2=Othmer|first2=Hans G|title=The topology of the regulatory interactions predicts the expression pattern of the segment polarity genes in Drosophila melanogaster|journal=Journal of Theoretical Biology|date=July 2003|volume=223|issue=1|pages=1–18|doi=10.1016/S0022-5193(03)00035-3|pmid=12782112|pmc=6388622|citeseerx=10.1.1.13.3370}}<!--|accessdate=25 November 2014--></ref><ref>{{cite journal|last1=Li|first1=J.|last2=Bench|first2=A. J.|last3=Vassiliou|first3=G. S.|last4=Fourouclas|first4=N.|last5=Ferguson-Smith|first5=A. C.|last6=Green|first6=A. R.|title=Imprinting of the human L3MBTL gene, a polycomb family member located in a region of chromosome 20 deleted in human myeloid malignancies |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|date=30 April 2004 |volume=101|issue=19 |pages=7341–7346 |doi=10.1073/pnas.0308195101|pmid=15123827 |pmc=409920|bibcode = 2004PNAS..101.7341L }}</ref>。
布尔网络模型最初是由Kauffman等提出<ref>Dubrova, E., Teslenko, M., Martinelli, A., (2005). *Kauffman Networks: Analysis and Applications, in "Proceedings of International Conference on Computer-Aided Design", pages 479-484.</ref>，它是一种 以有向图为基础的离散系统。在布尔网络中，类似布尔函数，每个节点只有开和关两种状态，而在某个时刻每个节点只能处于这两种状态中的某一种。每个节点下一时刻的状态是由相邻节点的状态决定的，相邻节点的状态为输入，经过一系列的逻辑运算得到本节点的新状态。运算中使用的逻辑操作符包括：与（AND)、或(OR)、非(NOT)、异或(XOR)等。
布尔网络模型自提出以来一直受到人们的关注，并广泛运用于包括细胞分化、免疫反应、生物进化、神经网络以及基因调控等在内的众多领域。状态“开”表示一个基因转录表达，形成基因产物。而状态“关”则代表一个基因未转录。基因之间的相互作用关系由布尔表达式来表示 。
==经典模型 ==
虽然1969年Kauffman就提出了布尔网络模型，但直到2000年中期人们才完全理解看似简单的数学上的同步模型<ref name="DrosselRbn">{{cite book|last1=Drossel|first1=Barbara|editor1-last=Schuster|editor1-first=Heinz Georg|title=Chapter 3. Random Boolean Networks|date=December 2009|doi=10.1002/9783527626359.ch3|arxiv=0706.3351|series=Reviews of Nonlinear Dynamics and Complexity|publisher=Wiley|pages=69–110|isbn=9783527626359|chapter=Random Boolean Networks}}</ref>。
==经典模型==
只发生在系统状态轨迹开始时的状态（也就是没有其他轨迹通向它们）被称为'''<font color="#FF8000">伊甸园状态garden-of-Eden states<ref name="WuenscheBook">{{cite book|last1=Wuensche|first1=Andrew|title=Exploring discrete dynamics : [the DDLab manual : tools for researching cellular automata, random Boolean and multivalue neworks [sic] and beyond]|date=2011|publisher=Luniver Press|location=Frome, England|isbn=9781905986316|page=16|url=https://books.google.de/books?id=qsktzY_Vg8QC&pg=PA16|accessdate=12 January 2016}}</ref></font>'''，网络的动态从这些状态流向吸引子，而它们到达吸引子所需的时间也被称为'''<font color="#FF8000">瞬态时间transient time<ref name="DrosselRbn" /></font>'''。
只发生在系统状态轨迹开始时的状态（也就是没有其他轨迹通向它们）被称为'''<font color="#FF8000">伊甸园状态garden-of-Eden states<ref name="WuenscheBook">{{cite book|last1=Wuensche|first1=Andrew|title=Exploring discrete dynamics : [the DDLab manual : tools for researching cellular automata, random Boolean and multivalue neworks [sic] and beyond]|date=2011|publisher=Luniver Press|location=Frome, England|isbn=9781905986316|page=16|url=https://books.google.de/books?id=qsktzY_Vg8QC&pg=PA16|accessdate=12 January 2016}}</ref></font>'''，网络的动态从这些状态流向吸引子，而它们到达吸引子所需的时间也被称为'''<font color="#FF8000">瞬态时间transient time<ref name="DrosselRbn" /></font>'''。
随着计算机能力的不断提高，人们对看似简单的模型的理解也越来越深刻，在网络研究中不同的作者对吸引子的平均数量和长度给出了不同的估计，这里简单地总结一下在主要出版物上发表的研究成果<ref name="GreilReview">{{cite journal|last1=Greil|first1=Florian|title=Boolean Networks as Modeling Framework|journal=Frontiers in Plant Science|date=2012|volume=3|pages=178|doi=10.3389/fpls.2012.00178|pmid=22912642|pmc=3419389}}<!--|accessdate=26 November 2014--></ref>。
随着计算机能力的不断提高，人们对看似简单的模型的理解也越来越深刻，在网络研究中不同的作者对吸引子的平均数量和长度给出了不同的估计，这里简单地总结一下在主要出版物上发表的研究成果<ref name="GreilReview">{{cite journal|last1=Greil|first1=Florian|title=Boolean Networks as Modeling Framework|journal=Frontiers in Plant Science|date=2012|volume=3|pages=178|doi=10.3389/fpls.2012.00178|pmid=22912642|pmc=3419389}}<!--|accessdate=26 November 2014--></ref>。
!平均吸引子长度
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对于'''<font color="#FF8000">N-K模型 N-K-model<ref>{{cite journal |last=Kauffman |first=S. A. |date=1969 |title=Metabolic stability and epigenesis in randomly constructed genetic nets |journal=Journal of Theoretical Biology |volume=22 |issue=3 |pages=437–467 |doi=10.1016/0022-5193(69)90015-0|pmid=5803332 }}</ref> </font>'''，如果 <math>K<K_{c}</math> ，网络是稳定的；如果 <math>K=K_{c}</math> ，网络是处于临界状态的；如果 <math>K>K_{c}</math> ，网络是不稳定的。
对于'''<font color="#FF8000">N-K模型 N-K-model<ref>{{cite journal |last=Kauffman |first=S. A. |date=1969 |title=Metabolic stability and epigenesis in randomly constructed genetic nets |journal=Journal of Theoretical Biology |volume=22 |issue=3 |pages=437–467 |doi=10.1016/0022-5193(69)90015-0|pmid=5803332 }}</ref> </font>'''，如果 <math>K<K_{c}</math> ，网络是稳定的；如果 <math>K=K_{c}</math> ，网络是处于临界状态的；如果 <math>K>K_{c}</math> ，网络是不稳定的。
一个给定节点的状态 <math>n_{i}</math> 根据其'''<font color="#FF8000">真值表truth table</font>'''进行更新，真值表的输出是随机填充的。<math>p_{i}</math> 表示对给定的一系列输入信号分配一个关闭输出信号指令的概率。
一个给定节点的状态 <math>n_{i}</math> 根据其'''<font color="#FF8000">真值表truth table</font>'''进行更新，真值表的输出是随机填充的。<math>p_{i}</math> 表示对给定的一系列输入信号分配一个关闭输出信号指令的概率。将关闭输出分配给给定系列输入信号的概率。
如果对于每一个节点满足 <math>p_{i}=p=const.</math> ，那么稳定状态和混沌状态范围之间的转换取决于 <math>p</math> 。根据伯纳德-德里达和伊夫-波莫的观点<ref>{{Cite journal|title = Random Networks of Automata: A Simple Annealed Approximation|url = http://stacks.iop.org/0295-5075/1/i=2/a=001?key=crossref.8cf81041d96c6144f3a397d9cf72cf09|journal = Europhysics Letters (EPL)|date = 1986-01-15|pages = 45–49|volume = 1|issue = 2|doi = 10.1209/0295-5075/1/2/001|first = B|last = Derrida|first2 = Y|last2 = Pomeau|bibcode = 1986EL......1...45D}}</ref>，平均连接数的临界值为 <math>K_{c}=1/[2p(1-p)]</math>。
如果 <math>K</math> 不是常数，且内度和外度之间没有相关性，则稳定性的条件由 <math>\langle K^{in}\rangle</math> 决定，如果 <math>\langle K^{in}\rangle <K_{c}</math> ，网络是稳定的。如果 <math>\langle K^{in}\rangle =K_{c}</math> ，则为临界；如果<math>\langle K^{in}\rangle >K_{c}</math> ，则为不稳定。
如果 <math>K</math> 不是常数，且'''<font color="#FF8000">出度out-degrees</font>'''和'''<font color="#FF8000">入度in-degrees</font>'''之间没有相关性，则稳定性的条件由 <math>\langle K^{in}\rangle</math> 决定<ref>{{Cite journal|title = Phase transitions and antichaos in generalized Kauffman networks|journal = Physics Letters A|date = 1995-01-02|pages = 331–334|volume = 196|issue = 5–6|doi = 10.1016/0375-9601(94)00876-Q|first = Ricard V.|last = Solé|first2 = Bartolo|last2 = Luque|bibcode = 1995PhLA..196..331S}}</ref><ref>{{Cite journal|title = Phase transitions in random networks: Simple analytic determination of critical points|journal = Physical Review E|date = 1997-01-01|pages = 257–260|volume = 55|issue = 1|doi = 10.1103/PhysRevE.55.257|first = Bartolo|last = Luque|first2 = Ricard V.|last2 = Solé|bibcode = 1997PhRvE..55..257L}}</ref><ref>{{Cite journal|title = From topology to dynamics in biochemical networks |journal = Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science|date = 2001-12-01|issn = 1054-1500|pages = 809–815|volume = 11|issue = 4|doi = 10.1063/1.1414882|pmid = 12779520 |first = Jeffrey J.|last = Fox|first2 = Colin C.|last2 = Hill|bibcode = 2001Chaos..11..809F}}</ref> ，如果 <math>\langle K^{in}\rangle <K_{c}</math> ，网络是稳定的。如果 <math>\langle K^{in}\rangle =K_{c}</math> ，则网络处于临界状态；如果<math>\langle K^{in}\rangle >K_{c}</math> ，则网络为不稳定状态。
对于'''<font color="#FF8000">无标度拓扑 scale-free topology </font>'''的网络来说，稳定性的条件是一样的，其中的出度和入度的分布都呈现出幂律分布。分布可以分别表示为：<math>P(K) \propto K^{-\gamma}</math>, 和 <math>\langle K^{in}\rangle=\langle K^{out} \rangle</math> ，之所以出度和入度的分布有这样的数学表达，是因为从一个节点发出的每一条外链都是到另一个节点的内链<ref>{{Cite journal|title = A natural class of robust networks|journal = Proceedings of the National Academy of Sciences|date = 2003-07-22|issn = 0027-8424|pmc = 166377|pmid = 12853565|pages = 8710–8714|volume = 100|issue = 15|doi = 10.1073/pnas.1536783100|first = Maximino|last = Aldana|first2 = Philippe|last2 = Cluzel|bibcode = 2003PNAS..100.8710A}}</ref>。
灵敏度表示了给定节点的布尔函数的输出在其输入变化时发生变化的概率。对于随机布尔网络。
<math> q_{i}=2p_{i}(1-p_{i}) </math>.
在一般情况下，网络的状态稳定性是由矩阵 <math>Q</math>最大的特征值<math>\lambda_{Q}</math>来控制的。其中<math> Q_{ij}=q_{i}A_{ij}</math>，<math>A</math> 是网络的邻接矩阵。如果 <math>\lambda_{Q}<1</math>，网络是稳定的；如果 <math>\lambda_{Q}=1</math>，网络是处于临界状态的；如果 <math>\lambda_{Q}>1</math>，网络是不稳定的。
<math> q_{i}=2p_{i}(1-p_{i}) </math>. In the general case, stability of the network is governed by the largest [[Eigenvalues and eigenvectors|eigenvalue]] <math> \lambda_{Q} </math> of matrix <math> Q </math>, where <math> Q_{ij}=q_{i}A_{ij} </math>, and <math> A </math> is the [[adjacency matrix]] of the network.<ref>{{Cite journal|title = The effect of network topology on the stability of discrete state models of genetic control|journal = Proceedings of the National Academy of Sciences|date = 2009-05-19|issn = 0027-8424|pmc = 2688895|pmid = 19416903|pages = 8209–8214|volume = 106|issue = 20|doi = 10.1073/pnas.0900142106|first = Andrew|last = Pomerance|first2 = Edward|last2 = Ott|first3 = Michelle|last3 = Girvan|author3-link= Michelle Girvan |first4 = Wolfgang|last4 = Losert|arxiv = 0901.4362|bibcode = 2009PNAS..106.8209P}}</ref> The network is stable if <math>\lambda_{Q}<1</math>, critical if <math>\lambda_{Q}=1</math>, unstable if <math>\lambda_{Q}>1</math>.
==模型的变化==
布尔网络的状态演化是全局收敛的，也就是说无论从哪种初始状开始演化，布尔网络的状态总能进入某个状态环（或者不动点），系统将—直保持在这种状态圈（或者不动点）统称为吸引子(Attractor)，布尔网络系统进入吸引子状态后，就具有一定的鲁棒性，除非有外界的控制或者扰动，否则系统很难跳出吸引子状态。所有能够演化进入同一个吸引子状态的转台集合称为这个吸引子的吸引域（Basin of the Attractor）。
布尔网络的状态空间是由不同的吸引域组成的，系统的某一个状态必定属于某一个确定的吸引子和它的吸引域。所以处于吸引域中的状态都称为暂态(Transient state),处于吸引子的状态称为稳态（Stable State) 。
布尔网络的一个吸引子和它的的吸引域形成了一种状态演化的树型结构，吸引子是这棵树的根，吸引域是这棵树的树干和叶子，系统的状态演化总是从“树干”状态或者“叶子”状态，进入“根”状态。由于不同布尔网络会具有不同的拓扑结构或者不同的逻辑更新函数，所以它们的吸引子和吸引域都是不相同的。<br>
==Other topologies==
==其他拓扑性质 ==
关于拓扑性质的研究主题是探索布尔网络不同的基础图拓扑结构。以下是一些关于布尔网络其他拓扑性质的情况。
*'''<font color="#FF8000">同质情况 Homogeneous Case </font>'''只是指简化的网格情况，它只是对著名的'''<font color="#FF8000">伊辛模型 lsing model </font>'''的还原。
*布尔网络可以选择无标度拓扑<ref name="AldanaScaleFree">{{cite journal|last1=Aldana|first1=Maximino|title=Boolean dynamics of networks with scale-free topology|journal=Physica D: Nonlinear Phenomena|date=October 2003|volume=185|issue=1|pages=45–66|doi=10.1016/s0167-2789(03)00174-x|arxiv=cond-mat/0209571|bibcode=2003PhyD..185...45A}}</ref>。我们可以在幂律分布条件下区分出只有入度分布<ref name="ScaleFreeInDegree">{{cite journal|last1=Drossel|first1=Barbara|last2=Greil|first2=Florian|title=Critical Boolean networks with scale-free in-degree distribution|journal=Physical Review E|date=4 August 2009|volume=80|issue=2|pages=026102|doi=10.1103/PhysRevE.80.026102|pmid=19792195|arxiv=0901.0387|bibcode=2009PhRvE..80b6102D}}</ref>，或只有出度分布，或出度和入度都有的情况。
==其他更新方案==
'''<font color="#FF8000">经典布尔网络Classical Boolean networks</font>'''（有时也被简称为CRBN，即经典随机布尔网络）是同步更新的。受基因通常不会同时改变其状态这一事实的激励<ref name="HarveyBossomaier1997">{{cite book|last1=Harvey|first1=Imman|last2=Bossomaier|first2=Terry|editor1-last=Husbands|editor1-first=Phil|editor2-last=Harvey|editor2-first=Imman|title=Time out of joint: Attractors in asynchronous random Boolean networks|journal=Proceedings of the Fourth European Conference on Artificial Life (ECAL97)|date=1997|pages=67–75|url=https://books.google.de/books?id=ccp8fzlyorAC&pg=PA67|publisher=MIT Press|isbn=9780262581578}}</ref>，人们引入了不同的替代方案。常见的分类<ref name="Gershenson2004">{{cite book|last1=Gershenson|first1=Carlos|editor1-last=Standish|editor1-first=Russell K|editor2-last=Bedau|editor2-first=Mark A|title=Classification of Random Boolean Networks|journal=Proceedings of the Eighth International Conference on Artificial Life|date=2002|volume=8|pages=1–8|url=https://books.google.de/books?id=si_KlRbL1XoC&pg=PA1|accessdate=12 January 2016|arxiv=cs/0208001|series=Artificial Life|location=Cambridge, Massachusetts, USA|isbn=9780262692816|bibcode=2002cs........8001G}}</ref>如下:
*'''<font color="#FF8000">确定性异步更新布尔网络（简称DRBNs）</font>'''不是同步更新，但确定性解仍然存在。当 ''t≡Q<sub>i</sub>(''mod''P<sub>i</sub>)'' 时，''i'' 节点将被更新，其中 ''t'' 是时间步长<ref name="GershensonDrbn">{{cite book|last1=Gershenson|first1=Carlos|last2=Broekaert|first2=Jan|last3=Aerts|first3=Diederik|title=Contextual Random Boolean Networks|journal=Advances in Artificial Life|date=14 September 2003|volume=2801|pages=615–624|doi=10.1007/978-3-540-39432-7_66|arxiv=nlin/0303021|series=Lecture Notes in Computer Science|trans-title=7th European Conference, ECAL 2003|location=Dortmund, Germany|isbn=978-3-540-39432-7}}</ref>。
*最一般的情况是完全随机更新（'''<font color="#FF8000">一般异步随机布尔网络general asynchronous random boolean networks</font>'''，简称'''GARBN'''）。在这里，在每个计算步骤中选择一个（或多个）节点进行更新。
*'''<font color="#FF8000">部分可观测布尔动态系统Partially-Observed Boolean Dynamical System</font>'''（简称POBDS）<ref>{{Cite journal|last=Imani|first=M.|last2=Braga-Neto|first2=U. M.|date=2017-01-01|title=Maximum-Likelihood Adaptive Filter for Partially Observed Boolean Dynamical Systems|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|volume=65|issue=2|pages=359–371|doi=10.1109/TSP.2016.2614798|issn=1053-587X|arxiv=1702.07269|bibcode=2017ITSP...65..359I}}</ref><ref>{{Cite book|pages=972–976|last=Imani|first=M.|last2=Braga-Neto|first2=U. M.|language=en-US|doi=10.1109/GlobalSIP.2015.7418342|chapter=Optimal state estimation for boolean dynamical systems using a boolean Kalman smoother|year=2015|isbn=978-1-4799-7591-4|title=2015 IEEE Global Conference on Signal and Information Processing (GlobalSIP)}}</ref><ref>{{Cite book|last=Imani|first=M.|last2=Braga-Neto|first2=U. M.|language=en-US|doi=10.1109/ACC.2016.7524920|title=2016 American Control Conference (ACC)|pages=227–232|year=2016|isbn=978-1-4673-8682-1}}</ref><ref>{{Cite book|last=Imani|first=M.|last2=Braga-Neto|first2=U.|date=2016-12-01|title=Point-based value iteration for partially-observed Boolean dynamical systems with finite observation space|journal=2016 IEEE 55th Conference on Decision and Control (CDC)|pages=4208–4213|doi=10.1109/CDC.2016.7798908|isbn=978-1-5090-1837-6}}</ref>信号模型不同于以往所有确定性和随机布尔网络模型，它消除了布尔状态向量的直接可观测性的假设，并允许观测过程中引入的不确定性，解决了实际遇到的场景。
==布尔网络的应用==
1、生物的进化<ref>李谋勋. 复杂系统布尔网络模型及应用[J]. 系统科学学报,2006,14(4):33-36. DOI:10.3969/j.issn.1005-6408.2006.04.007.</ref>
长期以来，关于物种是固定不变的还是进化的观点存在着不同的看法。创世说认为物种是由上帝创造的；形态学家则说物种不是随机突变和选择的结果，而是形态法则的产物；拉马克认为环境是影响物种变化的原因，并提出获得性遗传的理论。通过对物种在家养状态下和自然状态下的变异，达尔文提出自然选择学说，这个学说告诉我们，物种在生存竞争的过程中，经过自然选择的作用，逐渐产生新的物种，实现生物的进化。进化是一个生物体如何通过遗传变异而修正自身、以求改善自己适应性的故事。进化不仅仅是自然选择的结果，更应该考虑生物体自身内部的原因。在讨论进化的时候，不仅要从自然选择方面，更要从生物体自身的内部机制方面来综合考虑。生物体只有在历史的过程中产生了自身的结构，在此基础上，选择才开始对它发生作用，否则就像雅克·莫诺所说的那样，进化仅仅是一个巧合。在布尔网络中我们可以看到，如果其中某些状态发生变异，如100改变为010，则状态循环进入另外一个循环内，这种情况对于生物的稳定性来说是不利的，但从进化的角度分析则是有利的，因为它可能会改变原有生物的内部结构，进而通过自然选择的作用而引起进化，适者生存，否则就会灭绝。也正是由于内部引发的自发秩序，才有可能使生物体发生变异，再经过自然选择，选出适应环境的个体，完成生物的进化过程。
2、对个体发生学的解释<ref>李谋勋. 复杂系统布尔网络模型及应用[J]. 系统科学学报,2006,14(4):33-36. DOI:10.3969/j.issn.1005-6408.2006.04.007.</ref>
个体发生学中胚中预成论的观点由于汉斯.德莱希的海胆卵发育实验而遭到否定，目前大多数研究主要集中于细胞分化和形态发生这两个过程。一个受精卵经过大约50轮细胞分裂，分化出250或1015个细胞，然后按照雅各布和莫诺的遗传回路理论，根据可供选择的不同基因行为模式来构成生物体不同的细胞类型，或者是理查德.道金斯所认为的是受精卵中的内部化学物质(DNA)存在极性来说明各种功能细胞的形成原因。但是不同基因行为模式的组合的数目是2N，当基因数目N较大时，细胞不可能在有限的时间内搜索这么大的范围，因此可能还存在其它的机制。在布尔网络模型中，经过一定周期，最后形成具有一定吸引域的不同的吸引子。通过计算机模拟证明，在有序和混沌边缘，吸引子的数量大约是二进制变体数N的平方根。生物学的研究表明，有机体的细胞类型与其复杂程度有关，有机体越复杂，则它拥有的细胞类型就越多，而细胞类型的数目与有机体中的基因多少存在一定的关系。如人体大约有80000～100000个基因和265种细胞类型，在布尔网络中，100000个基因形成的吸引子数量约为317个。可以认为每种吸引子就是一个不同的细胞类型，而且从上面的讨论可知，具有吸引域的吸引子能维持自我稳定，这也说明了细胞类型具有一定的稳定性。因此布尔网络所表现出来自组织行为是个体发生学的动力源泉。
3、布尔网络模型对复杂性研究的启示<ref>李谋勋. 复杂系统布尔网络模型及应用[J]. 系统科学学报,2006,14(4):33-36. DOI:10.3969/j.issn.1005-6408.2006.04.007.</ref>
布尔网络模型涉及到多个要素之间存在多方面相互作用，当这些要素相互作用时，导致了非线性的结构和组织的产生。作为整体的有机体，我们不可能完全割裂其中的关系而进行研究，而只能通过整体或系统的方法去理解有机体自然属性。而且从布尔网络模型的动力学机制上看，一个单个的随机情况并没有显示太多的结构，但是考虑大量的随机情况，系统显示出在一般的情况下事件的整体行为。通过布尔网络模型，可以把复杂系统的宏观行为和微观机制两个方面结合起来。从某种意义上说，布尔网络模型给我们研究复杂系统以方法论的启示，为解决现实世界中的复杂性问题提供了新的思路。
==Classification==
== 局限性==
布尔网络是离散时间系统，比如在描述生物基因的系统中，它将每个基因点的状态二值化，也将生物系统的状 态进行了离散化的描述。然而在实际中，基因表达水平是一个连续值，所以要将基因表达的数据离散化、二值化，但是这样会造成信息的损失。同理，生物系统的状态演化也是连续的，对每个节点的离散化描述会造成整个系统信息的损失。而且当布尔网络的规模增大时，网络的状态会以指数级增长，模型的复杂程度增加，模型对于生物系统描述的准确性也会大大下降。所以布尔网络是一种较为抽象的模型,它适合对系统进行宏观的描述，在对准确性要求不高的情况下有较好的效果。
同样以生物基因系统为例，由于生物系统的随机性，使得基因表达的过程中存在着大量噪声和扰动，布尔网络这种确定性的模型不能准确描述基因间的调控关系。为了在布尔网络模型中引人不确定的因素，'''<font color="#FF8000">概率布尔网络Probabilistic Boolean Networks</font>'''（简称PBN）应运而生，它在原来节点之间关系的基础上加入了概率模型。在概率布尔网络中节点的状态演化可能根据多个布尔函数，基因采用哪个布尔函数进行演化，需要根据一定的概率来决定。因为有了多个更新函数，所以系统的计算量也随之増大。
==分类==
==See also==
'''<font color="#FF8000">可伸缩的最佳贝叶斯分类 Scalable Optimal Bayesian Classification </font>''' <ref name=":bmdl">Hajiramezanali, E. & Imani, M. & Braga-Neto, U. & Qian, X. & Dougherty, E.. Scalable Optimal Bayesian Classification of Single-Cell Trajectories under Regulatory Model Uncertainty. ACMBCB'18. https://dl.acm.org/citation.cfm?id=3233689</ref>开发了一种考虑潜在布尔网络模型不确定性的轨迹最优分类方法，还提出了一种基于粒子的轨迹分类，这种分类方法对于大型网络具有高度的可扩展性，并且复杂度比最优解方法低得多。
==相关词条==
'''<font color="#FF8000">NK模型 NK Model </font>'''
'''<font color="#FF8000">NK模型 NK Model </font>'''
==References==
==参考文献==
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*Dubrova, E., Teslenko, M., Martinelli, A., (2005). *[http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1129670 Kauffman Networks: Analysis and Applications], in "Proceedings of International Conference on Computer-Aided Design", pages 479-484.<!-- to be cited or not -->
*Dubrova, E., Teslenko, M., Martinelli, A., (2005). *[http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1129670 Kauffman Networks: Analysis and Applications], in "Proceedings of International Conference on Computer-Aided Design", pages 479-484.