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[[File:P4_Mandelbrot_set_image.png|256px|thumb|right|曼德布洛特集的细节部分]]

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'''曼德布洛特集  Mandelbrot set '''是对于复二次多项式 <math>f_c(z)=z^2+c</math>，在固定<math>z=0</math>的前提下，所有使得无限迭代后的结果能保持有限数值（即不发散）的复数<math>c</math> 的集合。即满足数列 <math>f_c(0)</math>, <math>f_c(f_c(0))</math>等在绝对值中保持有界的复数<math>c</math>的集合。

'''曼德布洛特集  Mandelbrot set '''是对于复二次多项式 <math>f_c(z)=z^2+c</math>，在固定<math>z=0</math>的前提下，所有使得无限迭代后的结果能保持有限数值（即不发散）的复数<math>c</math> 的集合。即满足数列 <math>f_c(0)</math>, <math>f_c(f_c(0))</math>等在绝对值中保持有界的复数<math>c</math>的集合。

[[File:P5_Mandelbrot_sequence_new.gif|256px|thumb|right|放大后的曼德布洛特集]]

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'''阿德里安 · 杜阿迪  Adrien Douady'''为纪念数学家'''伯努·瓦曼德布洛特 Benoît B. Mandelbrot'''将满足上述条件的集合命名为曼德布洛特集 。<ref name="John H. Hubbard 1985">Adrien Douady and John H. Hubbard, ''Etude dynamique des polynômes complexes'', Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)</ref>它与'''朱利亚集  Julia set'''有着很深的内在联系，朱利亚集也会产生与曼德布洛特集相类似的分形图案。

 

'''阿德里安 · 杜阿迪  Adrien Douady'''为纪念数学家'''伯努·瓦曼德布洛特 Benoît B. Mandelbrot'''将满足上述条件的集合命名为曼德布洛特集 。它与'''朱利亚集  Julia set'''有着很深的内在联系，朱利亚集也会产生与曼德布洛特集相类似的分形图案。

 

 

  --[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]）以上两段调整语序为，先将其命名人提前，再叙述该集合：若一个复二次多项式 <math>f_c(z)=z^2+c</math>，令<math>z=0</math>，存在复数C使得该方程无限迭代后的结果能保持有界（即不发散），将满足上述条件的复数C的集合视为一种特殊集。'''阿德里安 · 杜阿迪  Adrien Douady'''为纪念数学家'''伯努·瓦曼德布洛特 Benoît B. Mandelbrot''’而将该特殊集命名为'''曼德布洛特集  Mandelbrot set'''。曼德布洛特集中的复数C使得数列 <math>f_c(0)</math>, <math>f_c(f_c(0))</math>等在取绝对值后仍保持有界。该集合与'''朱利亚集  Julia set'''有着很深的内在联系，由于他们都使用相同的复二次多项式来进行迭代。朱利亚集也会产生与曼德布洛特集相类似的分形图案。

    

    

通过选取不同的复数<math>C</math>，观察其数列 <math>f_c(0), f_c(f_c(0)),\dotsc</math>是否达到无穷大（即其是否在预设的迭代次数后离开之前预设好的某个含0在内的有界领域）。将<math>C</math>的实部作为'''复平面图像  Complex Plane'''的横坐标，虚部作为复平面图像的纵坐标。 然后根据数列<math>|f_c(0)|,|f_c(f_c(0))|,\dotsc</math>。

通过选取不同的复数<math>C</math>，观察其数列 <math>f_c(0), f_c(f_c(0)),\dotsc</math>是否达到无穷大（即其是否在预设的迭代次数后离开之前预设好的某个含0在内的有界领域）。将<math>C</math>的实部作为'''复平面图像  Complex Plane'''的横坐标，虚部作为复平面图像的纵坐标。 然后根据数列<math>|f_c(0)|,|f_c(f_c(0))|,\dotsc</math>。

若数列发散，则在二维平面内将所有属于集合内的点标记为黑色，不属于集合内的点按照发散速度赋予不同的颜色，就可以得到经典的曼德布洛特集图像。

若数列发散，则在二维平面内将所有属于集合内的点标记为黑色，不属于集合内的点按照发散速度赋予不同的颜色，就可以得到经典的曼德布洛特集图像。

The Mandelbrot set has its origin in complex dynamics, a field first investigated by the French mathematicians Pierre Fatou and Gaston Julia at the beginning of the 20th century. This fractal was first defined and drawn in 1978 by Robert W. Brooks and Peter Matelski as part of a study of Kleinian groups.[2] On 1 March 1980, at IBM's Thomas J. Watson Research Center in Yorktown Heights, New York, Benoit Mandelbrot first saw a visualization of the set.[3]Mandelbrot studied the parameter space of quadratic polynomials in an article that appeared in 1980.[4]

The Mandelbrot set has its origin in complex dynamics, a field first investigated by the French mathematicians Pierre Fatou and Gaston Julia at the beginning of the 20th century. This fractal was first defined and drawn in 1978 by Robert W. Brooks and Peter Matelski as part of a study of Kleinian groups.[2] On 1 March 1980, at IBM's Thomas J. Watson Research Center in Yorktown Heights, New York, Benoit Mandelbrot first saw a visualization of the set.[3]Mandelbrot studied the parameter space of quadratic polynomials in an article that appeared in 1980.[4]

曼德尔洛特集起源于20世纪初由法国数学家'''皮埃尔费托 Pierre Fatou''' 和'''加斯顿茱莉亚  Gaston Julia '''首先研究的复动力学。首次确切定义分形，并绘制出可视化的分形图案得益于 '''罗伯特·W·布鲁克斯  Robert W. Brooks'''和'''彼得·马特尔斯基  Peter Matelski'''在1978年对'''克莱尼群  Kleinian Groups '''的部分研究工作。 在此基础上，1980年3月1日，在位于纽约的'''约克敦海茨  Yorktown Heights '''的 IBM的 '''汤玛士·Ｊ·华生研究中心  Thomas J. Watson Research Center'''，'''伯努·瓦曼德布洛特 Benoît B. Mandelbrot'''首次绘制出曼德布洛特集的可视化图形。[3]且Benoît B. Mandelbrot在1980年发表了一篇关于'''二次多项式  Quadratic Polynomials'''的'''参数空间 Parameter Space'''的研究论文。

曼德尔洛特集起源于20世纪初由法国数学家'''皮埃尔费托 Pierre Fatou''' 和'''加斯顿茱莉亚  Gaston Julia '''首先研究的复动力学。首次确切定义分形，并绘制出可视化的分形图案得益于 '''罗伯特·W·布鲁克斯  Robert W. Brooks'''和'''彼得·马特尔斯基  Peter Matelski'''在1978年对'''克莱尼群  Kleinian Groups '''的部分研究工作。<ref>Robert Brooks and Peter Matelski, ''The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C)'', in {{cite book|url=http://www.math.harvard.edu/archive/118r_spring_05/docs/brooksmatelski.pdf|title=Riemann Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference|author=Irwin Kra|date=1 May 1981|publisher=Princeton University Press|others=[[Bernard Maskit]]|isbn=0-691-08267-7|editor=Irwin Kra|access-date=1 July 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20190728201429/http://www.math.harvard.edu/archive/118r_spring_05/docs/brooksmatelski.pdf|archive-date=28 July 2019|url-status=dead}}</ref>  在此基础上，1980年3月1日，在位于纽约的'''约克敦海茨  Yorktown Heights '''的 IBM的 '''汤玛士·Ｊ·华生研究中心  Thomas J. Watson Research Center'''，'''伯努·瓦曼德布洛特 Benoît B. Mandelbrot'''首次绘制出曼德布洛特集的可视化图形。<ref name="bf">{{cite web |url=http://sprott.physics.wisc.edu/pubs/paper311.pdf |title=Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers |author=R.P. Taylor & J.C. Sprott |accessdate=1 January 2009 |year=2008 |work=Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, No. 1 |publisher=Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences }}</ref>且Benoît B. Mandelbrot在1980年发表了一篇关于'''二次多项式  Quadratic Polynomials'''的'''参数空间 Parameter Space'''的研究论文。<ref>Benoit Mandelbrot, ''Fractal aspects of the iteration of <math>z\mapsto\lambda z(1-z)</math> for complex <math>\lambda, z</math>'', ''Annals of the New York Academy of Sciences'' '''357''', 249/259</ref>

   --[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]） 2020年4月6日 (一) 04:12 (UTC)这里舍去 原文的人名  以之前在集智公众号上刊登的人名为主  查询后  本华·曼德博  法语： Benoît B. Mandelbrot，1924年11月20日－2010年10月14日 [1] ）又译伯努·瓦·曼德布洛特（该译名要规范一些）且与集合名称也更贴切一些

   --[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]） 2020年4月6日 (一) 04:12 (UTC)这里舍去 原文的人名  以之前在集智公众号上刊登的人名为主  查询后  本华·曼德博  法语： Benoît B. Mandelbrot，1924年11月20日－2010年10月14日 [1] ）又译伯努·瓦·曼德布洛特（该译名要规范一些）且与集合名称也更贴切一些

对曼德布洛特集的数学研究真正始于数学家'''阿德里安· 杜阿迪  Adrien Douady '''和'''约翰·H·哈伯德 John H. Hubbard''' <ref name="John H. Hubbard 1985"/> 的一系列研究工作。他们探明了曼德布洛特集的许多基本性质，Adrien Douady 为纪念Benoît B. Mandelbrot在分形几何中做出的杰出贡献，将该集合命名为曼德布洛特集。

 

对曼德布洛特集的数学研究真正始于数学家'''阿德里安 · 杜阿迪  Adrien Douady '''和'''约翰 · H · 哈伯德 John H. Hubbard''' [1]的一系列研究工作。他们探明了曼德布洛特集的许多基本性质，Adrien Douady 为纪念Benoît B. Mandelbrot在分形几何中做出的杰出贡献，将该集合命名为曼德布洛特集。

The cover article of the August 1985 Scientific American introduced a wide audience to the algorithm for computing the Mandelbrot set. The cover featured an image located at -0.909 + -0.275 and was created by Peitgen, et al.[8][9] The Mandelbrot set became prominent in the mid-1980s as a computer graphics demo, when personal computers became powerful enough to plot and display the set in high resolution.[10]

The cover article of the August 1985 Scientific American introduced a wide audience to the algorithm for computing the Mandelbrot set. The cover featured an image located at -0.909 + -0.275 and was created by Peitgen, et al.[8][9] The Mandelbrot set became prominent in the mid-1980s as a computer graphics demo, when personal computers became powerful enough to plot and display the set in high resolution.[10]

数学家'''海因茨-奥托 · 佩特根 Heinz-Otto Peitgen''' 和'''彼得 · 里希特 Peter Richter '''通过照片、书籍，在'''德国歌德学院 Goethe-Institut'''举办国际巡回展览等宣传方式，让曼德布洛特集进入大众的视野中，受到广泛的关注。

数学家'''海因茨-奥托·佩特根 Heinz-Otto Peitgen''' 和'''彼得·里希特 Peter Richter '''通过照片、书籍<ref>{{cite book |title=The Beauty of Fractals |last=Peitgen |first=Heinz-Otto |author2=Richter Peter |year=1986 |publisher=Springer-Verlag |location=Heidelberg |isbn=0-387-15851-0 |title-link=The Beauty of Fractals }}</ref>，在'''德国歌德学院 Goethe-Institut'''举办国际巡回展览等宣传方式，让曼德布洛特集进入大众的视野中，受到广泛的关注。 <ref>[[Frontiers of Chaos]], Exhibition of the Goethe-Institut by H.O. Peitgen, P. Richter, H. Jürgens, M. Prüfer, D.Saupe. Since 1985 shown in over 40 countries.</ref><ref>{{cite book |title=Chaos: Making a New Science |last=Gleick |first=James |year=1987 |publisher=Cardinal |location=London |pages=229 |title-link=Chaos: Making a New Science }}</ref> 1985年8月'''《科学美国人 Scientific American 》'''的封面文章向广大读者介绍了计算曼德布洛特集的算法。<ref>{{cite magazine |title= Computer Recreations, August 1985; A computer microscope zooms in for a look at the most complex object in mathematics |last=Dewdney |first=A. K. |year=1985 |magazine=Scientific American |url=https://www.scientificamerican.com/media/inline/blog/File/Dewdney_Mandelbrot.pdf}}</ref><ref>{{cite book |title=Fractals: The Patterns of Chaos |author=John Briggs |year=1992 |page=80}}</ref>20世纪80年代中期，当个人计算机的功能变得足够强大，可以绘制图形并以高分辨率显示这些图形时，曼德布洛特集被运用到计算机图形学的图像演示中，并日益凸显了它的重要性。<ref>{{cite magazine |last=Pountain |first=Dick |date=September 1986 |title= Turbocharging Mandelbrot |url=https://archive.org/stream/byte-magazine-1986-09/1986_09_BYTE_11-09_The_68000_Family#page/n370/mode/1up |magazine= [[Byte (magazine) |Byte]] |access-date=11 November 2015 }}</ref>

1985年8月'''《科学美国人》 《Scientific American 》'''的封面文章向广大读者介绍了计算曼德布洛特集的算法。 20世纪80年代中期，当'''个人计算机  Personal Computers '''的功能变得足够强大，可以绘制图形并以高分辨率显示这些图形时，曼德布洛特集被运用到计算机图形学的图像演示中，并日益凸显了它的重要性。[10]

   --[[用户:木子二月鸟|木子二月鸟]]： The cover featured an image located at -0.909 + -0.275 and was created by Peitgen, et al.没有翻译，可以考虑译为：该封面展示了一幅以(-0.909,-0.275)为坐标的曼德布洛特集图形，该图形由Peitgen创作。

   --[[用户:木子二月鸟|木子二月鸟]]： The cover featured an image located at -0.909 + -0.275 and was created by Peitgen, et al.没有翻译，可以考虑译为：该封面展示了一幅以(-0.909,-0.275)为坐标的曼德布洛特集图形，该图形由Peitgen创作。

The work of Douady and Hubbard coincided with a huge increase in interest in complex dynamics and abstract mathematics, and the study of the Mandelbrot set has been a centerpiece of this field ever since. An exhaustive list of all who have contributed to the understanding of this set since then is long but would include Mikhail Lyubich,[11][12] Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura and Jean-Christophe Yoccoz.

The work of Douady and Hubbard coincided with a huge increase in interest in complex dynamics and abstract mathematics, and the study of the Mandelbrot set has been a centerpiece of this field ever since. An exhaustive list of all who have contributed to the understanding of this set since then is long but would include Mikhail Lyubich,<ref>{{cite journal

  }}</ref> [[Curtis T. McMullen|Curt McMullen]], [[John Milnor]], [[Mitsuhiro Shishikura]] and [[Jean-Christophe Yoccoz]]. Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura and Jean-Christophe Yoccoz.

Adrien Douady和  John H. Hubbard 的研究工作不断取得新的成果，感兴趣于复动力学和'''抽象数学  Abstract Mathematics'''领域的队伍快速壮大，自此，深入了解曼德布洛特集一直是这些领域的核心研究。包括'''米哈伊尔 · 柳比奇  Mikhail Lyubich''',[11][12]''' 科特 · 麦克马伦  Curt McMullen''', '''约翰 · 米尔诺  John Milnor''', '''石仓光博 Mitsuhiro Shishikura''' and '''让-克里斯托夫·约科兹Jean-Christophe Yoccoz'''在内的许多人在曼德布洛特集的研究工作中，都作出了大大小小的贡献。

Adrien Douady和  John H. Hubbard 的研究工作不断取得新的成果，感兴趣于复动力学和'''抽象数学  Abstract Mathematics'''领域的队伍快速壮大，自此，深入了解曼德布洛特集一直是这些领域的核心研究。包括'''米哈伊尔 · 柳比奇  Mikhail Lyubich''',[11][12]''' 科特 · 麦克马伦  Curt McMullen''', '''约翰 · 米尔诺  John Milnor''', '''石仓光博 Mitsuhiro Shishikura''' and '''让-克里斯托夫·约科兹Jean-Christophe Yoccoz'''在内的许多人在曼德布洛特集的研究工作中，都作出了大大小小的贡献。

   --[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]） 2020年4月6日 (一) 04:12 (UTC)第一句中的coincided weith 相吻合 换了并列句进行叙述

   --[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]） 2020年4月6日 (一) 04:12 (UTC)第一句中的coincided weith 相吻合 换了并列句进行叙述

   --[[用户:木子二月鸟|木子二月鸟]]： coincided with 应该是指两人的工作与人们对复杂动力学和抽象数学巨增的兴趣相吻合吧，建议改成：Adrien Douady和  John H. Hubbard 的工作与人们对复杂动力学和抽象数学兴趣的巨大增长相吻合，从那时起，对曼德布洛特集合的研究一直是这个领域的核心。尽管穷尽对理解曼德布洛特集有贡献的人名会非常长，但至少应包括'''米哈伊尔 · 柳比奇  Mikhail Lyubich''',[11][12]''' 科特 · 麦克马伦  Curt McMullen''', '''约翰 · 米尔诺  John Milnor''', '''石仓光博 Mitsuhiro Shishikura''' 和 '''让-克里斯托夫·约科兹Jean-Christophe Yoccoz'''。

   --[[用户:木子二月鸟|木子二月鸟]]： coincided with 应该是指两人的工作与人们对复杂动力学和抽象数学巨增的兴趣相吻合吧，建议改成：Adrien Douady和  John H. Hubbard 的工作与人们对复杂动力学和抽象数学兴趣的巨大增长相吻合，从那时起，对曼德布洛特集合的研究一直是这个领域的核心。尽管穷尽对理解曼德布洛特集有贡献的人名会非常长，但至少应包括'''米哈伊尔 · 柳比奇  Mikhail Lyubich''',[11][12]''' 科特 · 麦克马伦  Curt McMullen''', '''约翰 · 米尔诺  John Milnor''', '''石仓光博 Mitsuhiro Shishikura''' 和 '''让-克里斯托夫·约科兹Jean-Christophe Yoccoz'''。

==正式定义  Formal definition==

==正式定义  Formal definition==