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→Ermentrout-Kopell canonical model
The advantage of the theta model over the quadratic integrate and fire model is that there is no reset to deal with and the resulting dynamics are smooth and stay bounded. However, as the Izhikevich neuron demonstrates, it is sometimes useful to have the freedom to reset the dynamics anywhere.
The advantage of the theta model over the quadratic integrate and fire model is that there is no reset to deal with and the resulting dynamics are smooth and stay bounded. However, as the Izhikevich neuron demonstrates, it is sometimes useful to have the freedom to reset the dynamics anywhere.
模型是极限环分岔(SNIC)鞍节点的标准形式。(警告!不要将此与极限环的鞍节点混淆，在鞍节点中，一对极限环会碰撞和湮灭。)图1给出了当存在一对平衡时，参数随临界值变化时的分岔示意图。其中一个平衡是具有一维不稳定流形的鞍点。不稳定流形的两个分支构成一个具有稳定平衡点的不变圆。(参见鞍节分岔，这被称为鞍节同宿分岔。)在神经生理学术语中，鞍点的稳定流形为神经元形成了一个真正的阈值。在图1中，稳定歧管以绿色显示。流形左边的任何初始条件都将被吸引到稳定平衡(蓝色部分)，而流形右边的初始数据将在返回到静止状态之前绕圆进行较大的偏移。
在过渡附近，局部动力学类似于鞍节点分岔，其形式为:
(对应)有两个(对应)均衡。在这个微分方程的解在有限时间内“爆炸”的情况下
这是初始条件。特别地，假设我们将爆炸时间重置为那么总穿越时间为
因此，频率(周期的倒数)从右边接近临界状态时趋于零。这一观察结果使Rinzel & Ermentrout注意到，这种分岔对应于霍奇金I类兴奋性膜，而更熟悉的Andronov-Hopf分岔对应于II类兴奋性膜。乌贼轴突的经典霍奇金-赫胥黎模型是后者的最佳例证。经历SNIC分支的神经模型包括蟹腿轴突的Connor-Stevens模型、抑制性中间神经元的Wang-Buzsaki模型、Hindmarsh-Rose模型和某些情况下的Morris-Lecar模型。
二次积分和火灾模型本质上是方程(2)，爆炸有限值，重置有限值。它与伊兹克维奇神经元密切相关，它有一个额外的线性变量来建模一个恢复变量的动力学。
为了从鞍节点(2)推导出模型(1)，我们做了一个简单的变量变换，由此得到模型是简单的微积分。我们注意到，当从左边接近时，会变成，模型会把到圆的实线折叠起来。SNIC是一个全局分支，因此，要严格地证明SNIC和模型的等价性，需要比在这个形式推导中显示的更多的工作。有兴趣的读者可以参考Ermentrout和Kopell(1986)的论文。
与二次积分和火灾模型相比，θ模型的优点是不需要处理重置，产生的动力学是平滑的，保持有界的。然而，正如伊兹克维奇神经元所显示的那样，有时可以在任何地方自由重置动态是有用的。
== Noisy theta models ==
== Noisy theta models ==
Note that the sine term in the equation comes from the Ito change of variables. For small noise, that is, this term can be neglected and one gets the equation analyzed in Gutkin and Ermentrout.
Note that the sine term in the equation comes from the Ito change of variables. For small noise, that is, this term can be neglected and one gets the equation analyzed in Gutkin and Ermentrout.
为了得到有噪声的θ模型，我们从原始的加性白噪声的二次模型开始:
进行变量的替换，我们要小心地考虑到必须使用伊藤微积分。得到的噪声θ模型的形式如下:
注意方程中的sin项来自于变量的伊藤变换。对于小噪声，也就是说，这一项可以忽略，人们可以在Gutkin和Ermentrout中分析方程。
== The phase resetting curve for the theta model ==
== The phase resetting curve for the theta model ==
This is non-negative and has been suggested as the signature of neurons undergoing a SNIC bifurcation.
This is non-negative and has been suggested as the signature of neurons undergoing a SNIC bifurcation.
在振荡状态下，可以计算相位重置曲线(PRC)。Izhikevich通过在模型的二次元中加入一个瞬时脉冲来计算有限尺寸刺激的PRC。由此，他得到了一张从旧阶段到新阶段的地图:
注意PRC是在相位坐标而不是时间坐标中设置的。
伴随或无穷小PRC是非常容易计算的，使用二次版的模型(Ermentrout, 1996)。由于二次模型的周期解为
中华人民共和国是
这是非阴性的，并被认为是神经元经历SNIC分叉的标志。
== Relation to Other Models ==
== Relation to Other Models ==
Although (1) may have been referred to as being the ''theta-equation'', this causes confusion when working with theta rhythms in the brain, and so is not preferred. Hoppensteadt and Izhikevich (1997) suggested to call it the ''Ermentrout-Kopell canonical model''.
Although (1) may have been referred to as being the ''theta-equation'', this causes confusion when working with theta rhythms in the brain, and so is not preferred. Hoppensteadt and Izhikevich (1997) suggested to call it the ''Ermentrout-Kopell canonical model''.
本文所描述的正则模型与应用中出现的其他相模型密切相关。例如，阻尼摆的强迫振动的经典描述是由微分方程给出的
式中为向下方向与圆心半径之间的夹角，为质量，为摩擦系数(阻尼)，为支撑点的水平和垂直加速度，为施加在支撑点上的扭矩(见Chester(1975))。这个模型已被用于描述机械系统。、旋转电机(Stoker(1951))、电力系统(Salam(1984))、电子电路，如锁相环(Viterbi(1966))和参数放大器(Horowitz-Hill(1980))、量子力学器件(Feynman(1963))和神经元(参见VCON)。
当和和选择适当时，模型(1)与(3)等价。
虽然(1)可能被称为θ方程，但这在处理大脑中的θ节律时会引起混乱，因此不可取。hoppenstead和Izhikevich(1997)建议将其称为Ermentrout-Kopell规范模型。
== References ==
== References ==