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第49行： − − <math>\operatorname{E}(X)= \begin{cases} \infty & \alpha\le 1, \\ − − (x) = begin { cases } infty & alpha le 1, − − \frac{\alpha x_\mathrm{m}}{\alpha-1} & \alpha>1. − − − 1.1.1.1.1.2.1.2.2.2.2.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.4.3. − − + − − − − <math>\operatorname{Var}(X)= \begin{cases} − − { Var }(x) = begin { cases } − − − \infty & \alpha\in(1,2], \\ − − (1,2)中的 infty & alpha − − \left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\right)^2 \frac{\alpha}{\alpha-2} & \alpha>2. − − + − 左(frac { x _ mathrm { m }{ alpha-1}右) ^ 2 frac { alpha-2} & alpha > 2。 − − − + − − + − *仅针对非正''t≤0''的[[力矩生成函数|力矩生成函数]][[Moment-generating function|moment generating function]]定义为 − − + − − + − + − − − The parameters may be solved using the method of moments.<!-- : − − 参数可以用<font color="#ff8000"> 矩量法Method of moments</font>求解。 < ! -- : − − alpha = 1 + sqr(1 + mean ^ 2 / var) − − alpha = 1 + sqr(1 + mean ^ 2 / var) − − Alpha = 1 + sqr (1 + mean ^ 2/var) − − beta = mean * Sqr(mean ^ 2 + var) / (Sqr(var) + Sqr(mean ^ 2 + var)) --> − − beta = mean * Sqr(mean ^ 2 + var) / (Sqr(var) + Sqr(mean ^ 2 + var)) --> − − Beta = mean * Sqr (mean ^ 2 + var)/(Sqr (var) + Sqr (mean ^ 2 + var)) -- > − − −
→Properties性质
*服从帕累托分布的随机变量的'''期望值expected value'''为：
*服从帕累托分布的随机变量的'''期望值expected value'''为：
:: <math>\operatorname{E}(X)= \begin{cases} \infty & \alpha\le 1, \\
:: <math>\operatorname{E}(X)= \begin{cases} \infty & \alpha\le 1, \\
\frac{\alpha x_\mathrm{m}}{\alpha-1} & \alpha>1.
\frac{\alpha x_\mathrm{m}}{\alpha-1} & \alpha>1.
\end{cases}</math>
\end{cases}</math>
* 服从帕累托分布的随机变量的'''方差variance'''为
* 服从帕累托分布的随机变量的'''方差variance'''为
:: <math>\operatorname{Var}(X)= \begin{cases}
::<math>\operatorname{Var}(X)= \begin{cases}
\infty & \alpha\in(1,2], \\
\infty & \alpha\in(1,2], \\
\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\right)^2 \frac{\alpha}{\alpha-2} & \alpha>2.
\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\right)^2 \frac{\alpha}{\alpha-2} & \alpha>2.
\end{cases}</math>
\end{cases}</math><br />
(如果 α ≤1，方差不存在.)
(如果 α ≤1，方差不存在.)
*原始的[[矩（数学）|矩]]raw moments为
*原始的[[矩（数学）|矩]]raw moments为：
:: <math>\mu_n'= \begin{cases} \infty & \alpha\le n, \\ \frac{\alpha x_\mathrm{m}^n}{\alpha-n} & \alpha>n. \end{cases}</math>
:: <math>\mu_n'= \begin{cases} \infty & \alpha\le n, \\ \frac{\alpha x_\mathrm{m}^n}{\alpha-n} & \alpha>n. \end{cases}</math>
* The [[Moment-generating function|moment generating function]] is only defined for non-positive values ''t'' ≤ 0 as
*其[[力矩生成函数|力矩生成函数]][[Moment-generating function|moment generating function]]仅对非正值''t≤0''有定义：
::<math>M\left(t;\alpha,x_\mathrm{m}\right) = \operatorname{E} \left [e^{tX} \right ] = \alpha(-x_\mathrm{m} t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m} t)</math>
::<math>M\left(t;\alpha,x_\mathrm{m}\right) = \operatorname{E} \left [e^{tX} \right ] = \alpha(-x_\mathrm{m} t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m} t)</math>
::<math>M\left(0,\alpha,x_\mathrm{m}\right)=1.</math>
::<math>M\left(0,\alpha,x_\mathrm{m}\right)=1.</math>
由于其期望不会收敛到特定区间，包括''t=0''的情况，于是我们称其力矩生成函数并不存在。
*[[特征函数（概率论）|特征函数]]characteristic function由以下给出
*[[特征函数（概率论）|特征函数]]characteristic function由以下给出
:: <math>\varphi(t;\alpha,x_\mathrm{m})=\alpha(-ix_\mathrm{m} t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m} t),</math>
:: <math>\varphi(t;\alpha,x_\mathrm{m})=\alpha(-ix_\mathrm{m} t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m} t),</math>
其中 Γ(a, x)是'''不完全伽马函数incomplete gamma function'''。
其中 Γ(''a'', ''x'') 是'''不完全伽马函数incomplete gamma function'''。
其系数可能被矩量法method of moments来解<ref>S. Hussain, S.H. Bhatti (2018).
其系数可能被矩量法method of moments来解<ref>S. Hussain, S.H. Bhatti (2018).
[https://www.researchgate.net/publication/322758024_Parameter_estimation_of_Pareto_distribution_Some_modified_moment_estimators Parameter estimation of Pareto distribution: Some modified moment estimators]. ''Maejo International Journal of Science and Technology'' 12(1):11-27</ref>
[https://www.researchgate.net/publication/322758024_Parameter_estimation_of_Pareto_distribution_Some_modified_moment_estimators Parameter estimation of Pareto distribution: Some modified moment estimators]. ''Maejo International Journal of Science and Technology'' 12(1):11-27</ref>。<!-- :
===Conditional distributions条件分布===
===Conditional distributions条件分布===