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第134行： − ! !! \overline{F}(x)=1-F(x) !! Support !! Parameters − !!!1-F (x) ! ！支持！参数 − − |- − − |- − − {{See also|Generalized Pareto distribution}} − {{另见广义帕累托分布}} − | Type I − − | 第一类 第159行：
第147行： − || x \ge \sigma − − 我们会找到他的 − − <!--- In this context using x_m for the lower bound for the scale parameter is not meaningful, usual notation is \sigma ---> − <!--- 在这种情况下，使用x峎m作为标度参数的下限是没有意义的，通常的符号是\sigma ---> − − || \sigma > 0, \alpha − − | | sigma > 0，alpha − − − − |- − |- − {|class="wikitable" border="1" − |+Pareto distributions − ! !! <math> \overline{F}(x)=1-F(x)</math> !! Support !! Parameters − |- − | Type I − || <math>\left[\frac x \sigma \right]^{-\alpha}</math> − || <math>x \ge \sigma</math> − || <math>\sigma > 0, \alpha</math> − |- − | Type II − || <math>\left[1 + \frac{x-\mu} \sigma \right]^{-\alpha}</math> − || <math>x \ge \mu</math> − || <math>\mu \in \mathbb R, \sigma > 0, \alpha</math> − |- − | Lomax − || <math>\left[1 + \frac x \sigma \right]^{-\alpha}</math> − || <math>x \ge 0</math> − || <math>\sigma > 0, \alpha</math> − |- − | Type III − || <math>\left[1 + \left(\frac{x-\mu} \sigma \right)^{1/\gamma}\right]^{-1} </math> − || <math>x \ge \mu</math> − || <math> \mu \in \mathbb R, \sigma, \gamma > 0</math> − |- − | Type IV − || <math>\left[1 + \left(\frac{x-\mu} \sigma \right)^{1/\gamma}\right]^{-\alpha}</math> − || <math>x \ge \mu</math> − || <math>\mu \in \mathbb R, \sigma, \gamma > 0, \alpha</math> − |- − |- − |} − − The shape parameter ''α'' is the [[tail index]], ''μ'' is location, ''σ'' is scale, ''γ'' is an inequality parameter. Some special cases of Pareto Type (IV) are − − 形状参数“α”是[[尾部索引]]，“μ”是位置，“σ”是尺度，“γ”是不等式参数。帕累托类型（IV）的一些特殊情况是 − ::<math> P(IV)(\sigma, \sigma, 1, \alpha) = P(I)(\sigma, \alpha),</math> − ::<math> P(IV)(\mu, \sigma, 1, \alpha) = P(II)(\mu, \sigma, \alpha),</math> − ::<math> P(IV)(\mu, \sigma, \gamma, 1) = P(III)(\mu, \sigma, \gamma).</math> − − The finiteness of the mean, and the existence and the finiteness of the variance depend on the tail index ''α'' (inequality index ''γ''). In particular, fractional ''δ''-moments are finite for some ''δ'' > 0, as shown in the table below, where ''δ'' is not necessarily an integer. − − 均值的有限性、方差的存在性和有限性取决于尾部指数α（不等式指数γ）。特别是，对于某些“δ”>0，分数“δ”矩是有限的，如下表所示，其中“δ”不一定是整数。 − − The Pareto distribution hierarchy is summarized in the next table comparing the [[survival function]]s (complementary CDF). − 下表总结了帕累托分布层次结构，比较了[[生存函数]]s（互补CDF）。 − − || \left[1 + \frac{x-\mu} \sigma \right]^{-\alpha} − − | | 左[1 + frac { x-mu } sigma right ] ^ {-alpha } − − − − || x \ge \mu − − 我们会找到他的 − − When ''μ'' = 0, the Pareto distribution Type II is also known as the [[Lomax distribution]].<ref>{{cite journal | last1 = Lomax | first1 = K. S. | year = 1954 | title = Business failures. Another example of the analysis of failure data | url = | journal = Journal of the American Statistical Association | volume = 49 | issue = 268| pages = 847–52 | doi=10.1080/01621459.1954.10501239}}</ref> − − 当“μ”=0时，帕累托分布类型II也称为[[Lomax distribution]]。<ref>{cite journal | last1=Lomax | first1=K.S.| year=1954 | title=Business failures。另一个失败数据分析的例子| url=|journal=journal of the American Statistical Association | volume=49 | issue=268 | pages=847–52 | doi=10.1080/01621459.1954.10501239}</ref> − − || \mu \in \mathbb R, \sigma > 0, \alpha − − − − − |- − − |- − − In this section, the symbol ''x''<sub>m</sub>, used before to indicate the minimum value of ''x'', is replaced by ''σ''. − − | Lomax − − | 洛马克斯 − − − − || \left[1 + \frac x \sigma \right]^{-\alpha} − − [1 + frac x sigma right ] ^ {-alpha } − − {|class="wikitable" border="1" − − || x \ge 0 − − 我们会找到他的，我们会找到他 + − − || \sigma > 0, \alpha − − | | sigma > 0，alpha − − − |- − − |- − − − | Type III − − | 第三类 − − − || \left[1 + \left(\frac{x-\mu} \sigma \right)^{1/\gamma}\right]^{-1} − − | | 左[1 + 左(frac { x-mu } sigma 右) ^ {1/gamma }右] ^ {-1} − − − || x \ge \mu − − 我们会找到他的 − − − || \mu \in \mathbb R, \sigma, \gamma > 0 − − | | mu in mathbb r，sigma，gamma > 0 − − − − |- − − |- − − | Type IV − − | 第 IV 类 − − − || \left[1 + \left(\frac{x-\mu} \sigma \right)^{1/\gamma}\right]^{-\alpha} − − | | 左[1 + 左(frac { x-mu } sigma 右) ^ {1/gamma }右] ^ {-alpha } − − − || x \ge \mu − − 我们会找到他的 − − − || \mu \in \mathbb R, \sigma, \gamma > 0, \alpha − − | | mu in mathbb r，sigma，gamma > 0，alpha − − − − |- − − |- − − |- − − |- − − − |} − − |} − − − − The shape parameter α is the tail index, μ is location, σ is scale, γ is an inequality parameter. Some special cases of Pareto Type (IV) are − − 形状参数 α 是尾部指标，μ 是位置，σ 是标度，γ 是不等式参数。帕累托型(IV)的一些特殊情况是 − − − − P(IV)(\sigma, \sigma, 1, \alpha) = P(I)(\sigma, \alpha), − − P (IV)(sigma，sigma，1，alpha) = p (i)(sigma，alpha) , − − − P(IV)(\mu, \sigma, 1, \alpha) = P(II)(\mu, \sigma, \alpha), − − P(IV)(\mu, \sigma, 1, \alpha) = P(II)(\mu, \sigma, \alpha), − − − P(IV)(\mu, \sigma, \gamma, 1) = P(III)(\mu, \sigma, \gamma). − − p (IV)(mu，sigma，gamma，1) = p (III)(mu，sigma，gamma). − − − − The finiteness of the mean, and the existence and the finiteness of the variance depend on the tail index α (inequality index γ). In particular, fractional δ-moments are finite for some δ > 0, as shown in the table below, where δ is not necessarily an integer. − − 均值的有限性、方差的存在性和有限性取决于尾指数 α (不等式指数 γ)。特别是，对于某些 δ > 0，分数阶 δ- 矩是有限的，如下表所示，其中 δ 不一定是整数。 − − − − {|class="wikitable" border="1" − − { | class = “ wikitable” border = “1” − − − |+Moments of Pareto I–IV distributions (case μ = 0) − − 帕累托 i-IV 分布的 | + 矩(μ = 0) − − − ! !! \operatorname{E}[X] !! Condition !! \operatorname{E}[X^\delta] !! Condition − − !!!操作员名称{ e }[ x ] ! ！条件！操作员名称{ e }[ x ^ delta ] ！环境影响评估条件 − − − − − |- − − | Type I − − | 第一类 − − |- − − || \frac{\sigma \alpha}{\alpha-1} − − | | frac { sigma alpha }{ alpha-1} − − || \alpha > 1 − | | alpha > 1 − − − || \frac{\sigma^\delta \alpha}{\alpha-\delta} − − | | frac { sigma ^ delta alpha }{ alpha-delta } − 形状参数“α”是[[尾部索引]]，“μ”是位置，“σ”是尺度，“γ”是不等式参数。帕累托类型（IV）的一些特殊情况是 − || \delta < \alpha − − | | delta < alpha − − − − |- − − |- + − − | Type II − − | 第二类 − − − || \frac{ \sigma }{\alpha-1} − − | | frac { sigma }{ alpha-1} − − || \alpha > 1+ − − | | alpha > 1 − − − || \frac{ \sigma^\delta \Gamma(\alpha-\delta)\Gamma(1+\delta)}{\Gamma(\alpha)} − − | | frac { sigma ^ delta Gamma (alpha-delta) Gamma (1 + delta)}{ Gamma (alpha)} − − The finiteness of the mean, and the existence and the finiteness of the variance depend on the tail index ''α'' (inequality index ''γ''). In particular, fractional ''δ''-moments are finite for some ''δ'' > 0, as shown in the table below, where ''δ'' is not necessarily an integer. − || 0 < \delta < \alpha+ − + − | | 0 < delta < alpha − − − − |- − − |- − − {|class="wikitable" border="1" − − | Type III − − | 第三类 + − − || \sigma\Gamma(1-\gamma)\Gamma(1 + \gamma) − − | | sigma Gamma (1-Gamma) Gamma (1 + Gamma) − − − || -1<\gamma<1 − − | |-1 < γ < 1 − − − || \sigma^\delta\Gamma(1-\gamma \delta)\Gamma(1+\gamma \delta) − − | | sigma ^ delta Gamma (1-Gamma delta) Gamma (1 + Gamma delta) − − − || -\gamma^{-1}<\delta<\gamma^{-1} − − | |-gamma ^ {-1} < delta < gamma ^ {-1} − − − |- − − |- − − − | Type IV − − | 第 IV 类 − − − || \frac{\sigma\Gamma(\alpha-\gamma)\Gamma(1+\gamma)}{\Gamma(\alpha)} − − | | frac { sigma Gamma (alpha-Gamma) Gamma (1 + Gamma)}{ Gamma (alpha)} − − − || -1<\gamma<\alpha − − | |-1 < gamma < alpha − − − || \frac{\sigma^\delta\Gamma(\alpha-\gamma \delta)\Gamma(1+\gamma \delta)}{\Gamma(\alpha)} − − | | frac { sigma ^ delta Gamma (alpha-Gamma delta) Gamma (1 + Gamma delta)}{ Gamma (alpha)} − − + − || -\gamma^{-1}<\delta<\alpha/\gamma − − | |-gamma ^ {-1} < delta < alpha/gamma − − − − |- − − |- − − − |- − − |- − − − |} − − |} − − − − − Feller − − 费勒 − − − − W = \mu + \sigma \left(\frac{U_1}{U_2}\right)^\gamma − − W = mu + sigma left (frac { u _ 1}{ u _ 2} right) ^ gamma − − − − and we write W ~ FP(μ, σ, γ, δ1, δ2). Special cases of the Feller–Pareto distribution are − − 写出 w ~ FP (μ，σ，γ，δ1，δ2)。帕累托分布的特殊情况如下 − − − − FP(\sigma, \sigma, 1, 1, \alpha) = P(I)(\sigma, \alpha) − − FP (sigma，sigma，1,1，alpha) = p (i)(sigma，alpha) − − − FP(\mu, \sigma, 1, 1, \alpha) = P(II)(\mu, \sigma, \alpha) − − FP (mu，sigma，1,1，alpha) = p (II)(mu，sigma，alpha) − − − FP(\mu, \sigma, \gamma, 1, 1) = P(III)(\mu, \sigma, \gamma) − − FP (mu，sigma，gamma，1,1) = p (III)(mu，sigma，gamma) − − − FP(\mu, \sigma, \gamma, 1, \alpha) = P(IV)(\mu, \sigma, \gamma, \alpha). − − FP (mu，sigma，gamma，1，alpha) = p (IV)(mu，sigma，gamma，alpha). − − − − − The Pareto distribution is related to the exponential distribution as follows. If X is Pareto-distributed with minimum xm and index α, then − − 美国帕累托分布协会与美国指数分布协会有如下关系。如果 x 是以最小 xm 和指数 α 为参数的 pareto 分布，则 − − − − − Y = \log\left(\frac{X}{x_\mathrm{m}}\right) − − Y = log left (frac { x }{ x _ mathrm { m } right) 第643行：
第237行： − + − − − − − x_\mathrm{m} e^Y − − 2. x mathrm { m } e ^ y − − 第675行：
第260行： − 这可以使用标准的变量更改技术来显示:+
→Related distributions相关分布
==Related distributions相关分布==
==Related distributions相关分布==
===Generalized Pareto distributions广义帕累托分布===
===Generalized Pareto distributions广义帕累托分布===
帕累托分布有一个层次结构<ref name=arnold/><ref name=jkb94>Johnson、Kotz和Balakrishnan（1994），（20.4）。</ref>帕累托分布被称为帕累托类型I、II、III、IV，费勒-帕累托分布。<ref name=arnold/><ref name=jkb94/><ref name=kk03>{cite book | author1=Christian Kleiber | author2=Samuel Kotz | lastauthoramp=yes | year=2003 | title=经济学和精算科学中的统计规模分布| publisher=[[John Wiley&Sons | Wiley]]| isbn=978-0-471-15064-0 | ref=harv |网址=https://books.google.com/books？id=7wLGjyB128IC}}</ref>Pareto类型IV包含Pareto类型I-III作为特殊情况。费勒-帕累托<ref name=jkb94/><ref name=Feller>{cite book | last=Feller | first=W.| year=1971 | title=概率论及其应用简介| volume=II | edition=2nd | location=New York | publisher=Wiley | page=50}“密度（4.3）有时以经济学家‘Pareto’的名字命名。人们认为（从现代统计观点来看，这一点相当幼稚），收入分配应该有一个密度为“Ax”<sup>—“α”</sup>为“x”→∞的尾部。
帕累托分布有一个层次结构<ref name=arnold/><ref name=jkb94>Johnson、Kotz和Balakrishnan（1994），（20.4）。</ref>帕累托分布被称为帕累托类型I、II、III、IV，费勒-帕累托分布。<ref name=arnold/><ref name=jkb94/><ref name=kk03>{cite book | author1=Christian Kleiber | author2=Samuel Kotz | lastauthoramp=yes | year=2003 | title=经济学和精算科学中的统计规模分布| publisher=[[John Wiley&Sons | Wiley]]| isbn=978-0-471-15064-0 | ref=harv |网址=https://books.google.com/books？id=7wLGjyB128IC}}</ref>Pareto类型IV包含Pareto类型I-III作为特殊情况。费勒-帕累托<ref name=jkb94/><ref name=Feller>{cite book | last=Feller | first=W.| year=1971 | title=概率论及其应用简介| volume=II | edition=2nd | location=New York | publisher=Wiley | page=50}“密度（4.3）有时以经济学家‘Pareto’的名字命名。人们认为（从现代统计观点来看，这一点相当幼稚），收入分配应该有一个密度为“Ax”<sup>—“α”</sup>为“x”→∞的尾部。
====Pareto types I–IV帕累托分布1—4====
====Pareto types I–IV帕累托分布1—4====
在本节中，之前用于表示“x”最小值的符号“x”<sub>m</sub>将替换为“σ”。
在本节中，之前用于表示“x”最小值的符号“x”<sub>m</sub>将替换为“σ”。
{|class="wikitable"
|+Pareto distributions
|+Pareto distributions
! !! <math> \overline{F}(x)=1-F(x)</math> !! Support !! Parameters
! !! <math> \overline{F}(x)=1-F(x)</math> !! Support !! Parameters
|-
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| Type I
| Type I
|| <math>\left[\frac x \sigma \right]^{-\alpha}</math>
|| <math>\left[\frac x \sigma \right]^{-\alpha}</math>
|| <math>x \ge \sigma</math>
|| <math>x \ge \sigma</math>
|| <math>\sigma > 0, \alpha</math>
|| <math>\sigma > 0, \alpha</math>
|-
|-
| Type II
| Type II
|| <math>\left[1 + \frac{x-\mu} \sigma \right]^{-\alpha}</math>
|| <math>\left[1 + \frac{x-\mu} \sigma \right]^{-\alpha}</math>
|| <math>x \ge \mu</math>
|| <math>x \ge \mu</math>
|| <math>\mu \in \mathbb R, \sigma > 0, \alpha</math>
|| <math>\mu \in \mathbb R, \sigma > 0, \alpha</math>
|-
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| Lomax
| Lomax
|| <math>\left[1 + \frac x \sigma \right]^{-\alpha}</math>
|| <math>\left[1 + \frac x \sigma \right]^{-\alpha}</math>
|| <math>x \ge 0</math>
|| <math>x \ge 0</math>
|| <math>\sigma > 0, \alpha</math>
|| <math>\sigma > 0, \alpha</math>
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| Type III
| Type III
|| <math>\left[1 + \left(\frac{x-\mu} \sigma \right)^{1/\gamma}\right]^{-1} </math>
|| <math>\left[1 + \left(\frac{x-\mu} \sigma \right)^{1/\gamma}\right]^{-1} </math>
|| <math>x \ge \mu</math>
|| <math>x \ge \mu</math>
|| <math> \mu \in \mathbb R, \sigma, \gamma > 0</math>
|| <math> \mu \in \mathbb R, \sigma, \gamma > 0</math>
|-
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| Type IV
| Type IV
|| <math>\left[1 + \left(\frac{x-\mu} \sigma \right)^{1/\gamma}\right]^{-\alpha}</math>
|| <math>\left[1 + \left(\frac{x-\mu} \sigma \right)^{1/\gamma}\right]^{-\alpha}</math>
|| <math>x \ge \mu</math>
|| <math>x \ge \mu</math>
|| <math>\mu \in \mathbb R, \sigma, \gamma > 0, \alpha</math>
|| <math>\mu \in \mathbb R, \sigma, \gamma > 0, \alpha</math>
|-
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|}
|}
The shape parameter ''α'' is the [[tail index]], ''μ'' is location, ''σ'' is scale, ''γ'' is an inequality parameter. Some special cases of Pareto Type (IV) are
The shape parameter ''α'' is the [[tail index]], ''μ'' is location, ''σ'' is scale, ''γ'' is an inequality parameter. Some special cases of Pareto Type (IV) are
形状参数α是尾部指数tail index，μ是位置，σ是尺度，γ是不等式参数。帕累托类型（IV）的一些特殊情况有：
::<math> P(IV)(\sigma, \sigma, 1, \alpha) = P(I)(\sigma, \alpha),</math>
::<math> P(IV)(\sigma, \sigma, 1, \alpha) = P(I)(\sigma, \alpha),</math>
::<math> P(IV)(\mu, \sigma, 1, \alpha) = P(II)(\mu, \sigma, \alpha),</math>
::<math> P(IV)(\mu, \sigma, 1, \alpha) = P(II)(\mu, \sigma, \alpha),</math>
::<math> P(IV)(\mu, \sigma, \gamma, 1) = P(III)(\mu, \sigma, \gamma).</math>
::<math> P(IV)(\mu, \sigma, \gamma, 1) = P(III)(\mu, \sigma, \gamma).</math>
The finiteness of the mean, and the existence and the finiteness of the variance depend on the tail index ''α'' (inequality index ''γ''). In particular, fractional ''δ''-moments are finite for some ''δ'' > 0, as shown in the table below, where ''δ'' is not necessarily an integer.
均值的有限性、方差的存在性和有限性取决于尾部指数α（不等式指数γ）。特别是，对于某些“δ”>0，分数“δ”矩是有限的，如下表所示，其中“δ”不一定是整数。
均值的有限性、方差的存在性和有限性取决于尾部指数α（不等式指数γ）。特别是，对于某些“δ”>0，分数“δ”矩是有限的，如下表所示，其中“δ”不一定是整数。
The Pareto distribution hierarchy is summarized in the next table comparing the [[survival function]]s (complementary CDF).
下表总结了帕累托分布层次结构，比较了[[生存函数]]s（互补CDF）。
{|class="wikitable"
|+Moments of Pareto I–IV distributions (case ''μ'' = 0)
|+Moments of Pareto I–IV distributions (case ''μ'' = 0)
! !! <math>\operatorname{E}[X]</math> !! Condition !! <math>\operatorname{E}[X^\delta]</math> !! Condition
! !! <math>\operatorname{E}[X]</math> !! Condition !! <math>\operatorname{E}[X^\delta]</math> !! Condition
|-
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| Type I
| Type I
|| <math>\frac{\sigma \alpha}{\alpha-1}</math>
|| <math>\frac{\sigma \alpha}{\alpha-1}</math>
|| <math>\alpha > 1</math>
|| <math>\alpha > 1</math>
|| <math>\frac{\sigma^\delta \alpha}{\alpha-\delta}</math>
|| <math>\frac{\sigma^\delta \alpha}{\alpha-\delta}</math>
|| <math> \delta < \alpha</math>
|| <math> \delta < \alpha</math>
|-
|-
| Type II
| Type II
|| <math> \frac{ \sigma }{\alpha-1}+\mu</math>
|| <math> \frac{ \sigma }{\alpha-1}</math>
|| <math>\alpha > 1</math>
|| <math>\alpha > 1</math>
|| <math> \frac{ \sigma^\delta \Gamma(\alpha-\delta)\Gamma(1+\delta)}{\Gamma(\alpha)}</math>
|| <math> \frac{ \sigma^\delta \Gamma(\alpha-\delta)\Gamma(1+\delta)}{\Gamma(\alpha)}</math>
|| <math>0 < \delta < \alpha</math>
|| <math>0 < \delta < \alpha</math>
|-
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| Type III
| Type III
|| <math>\sigma\Gamma(1-\gamma)\Gamma(1 + \gamma)</math>
|| <math>\sigma\Gamma(1-\gamma)\Gamma(1 + \gamma)</math>
|| <math> -1<\gamma<1</math>
|| <math> -1<\gamma<1</math>
|| <math>\sigma^\delta\Gamma(1-\gamma \delta)\Gamma(1+\gamma \delta)</math>
|| <math>\sigma^\delta\Gamma(1-\gamma \delta)\Gamma(1+\gamma \delta)</math>
|| <math>-\gamma^{-1}<\delta<\gamma^{-1}</math>
|| <math>-\gamma^{-1}<\delta<\gamma^{-1}</math>
|-
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| Type IV
| Type IV
|| <math>\frac{\sigma\Gamma(\alpha-\gamma)\Gamma(1+\gamma)}{\Gamma(\alpha)}</math>
|| <math>\frac{\sigma\Gamma(\alpha-\gamma)\Gamma(1+\gamma)}{\Gamma(\alpha)}</math>
|| <math> -1<\gamma<\alpha</math>
|| <math> -1<\gamma<\alpha</math>
|| <math>\frac{\sigma^\delta\Gamma(\alpha-\gamma \delta)\Gamma(1+\gamma \delta)}{\Gamma(\alpha)}</math>
|| <math>\frac{\sigma^\delta\Gamma(\alpha-\gamma \delta)\Gamma(1+\gamma \delta)}{\Gamma(\alpha)}</math>
|| <math>-\gamma^{-1}<\delta<\alpha/\gamma </math>
|| <math>-\gamma^{-1}<\delta<\alpha/\gamma </math>
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|}
|}
====Feller–Pareto distribution费勒-帕累托分布====
====Feller–Pareto distribution费勒-帕累托分布====
Feller<ref name=jkb94/><ref name=feller/> defines a Pareto variable by transformation ''U'' = ''Y''<sup>−1</sup> − 1 of a [[beta distribution|beta random variable]] ''Y'', whose probability density function is
Feller<ref name=jkb94/><ref name=feller/> defines a Pareto variable by transformation ''U'' = ''Y''<sup>−1</sup> − 1 of a [[beta distribution|beta random variable]] ''Y'', whose probability density function is
费勒Feller<ref name=jkb94/><ref name=Feller/>通过[[β分布|β随机变量]] ''Y''的转换''U'' = ''Y''<sup>−1</sup> − 1 定义一个Pareto变量，其概率密度函数为
'''费勒Feller'''<ref name=jkb94/><ref name=Feller/>通过[[β分布|β随机变量]] ''Y''的转换''U'' = ''Y''<sup>−1</sup> − 1 定义一个Pareto变量，其概率密度函数为
is exponentially distributed with rate parameter α. Equivalently, if Y is exponentially distributed with rate α, then
is exponentially distributed with rate parameter α. Equivalently, if Y is exponentially distributed with rate α, then
与速率参数α呈指数分布。等价地，如果Y与速率α呈指数分布，则
与速率参数α呈指数分布。等价地，如果Y与速率α呈指数分布，则
:<math> f(y) = \frac{y^{\gamma_1-1} (1-y)^{\gamma_2-1}}{B(\gamma_1, \gamma_2)}, \qquad 0<y<1; \gamma_1,\gamma_2>0,</math>
:<math> f(y) = \frac{y^{\gamma_1-1} (1-y)^{\gamma_2-1}}{B(\gamma_1, \gamma_2)}, \qquad 0<y<1; \gamma_1,\gamma_2>0,</math>
where ''B''( ) is the [[beta function]]. If
where ''B''( ) is the [[beta function]]. If
This can be shown using the standard change-of-variable techniques:
This can be shown using the standard change-of-variable techniques:
使用标准的变量更改技术来显示: