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→应用案例
孟德尔随机化是工具变量的另一种衍生版本。
孟德尔随机化是工具变量的另一种衍生版本。
== IV 估计法的基本思想 ==
从一个最简单的回归模型引入工具变量估计法。如下式（1）所示：
y = βx+u（1）
假设y度量的是收入， x度量的是受教育的年数， u为随机误差项。简单回归模型（1）假设 x与随机误差项u不相关。x 对y的唯一直接影响是通过βx带来的，如下图（1）所示：
[[文件:Iv估计法.png|无|缩略图|158x158像素|图1]]
随机误差项u包括了除受教育年数之外的所有其他未观测到的影响收入的因素，<code>能力</code> 的因素包括在 u 中，因为 <code>能力</code> 的高低与 <code>收入</code> (y) 具有相关性（一般的，能力高的人收入会高）。但同时 <code>能力</code> 的高低与 <code>受教育年数</code> (x) 也具有相关性（一般的，能力高的人倾向于接受更多的教育或技能培训），如下图（2）所示：
[[文件:Iv估计.png|无|缩略图|图2]]
在模型（1）中我们遗漏了 <code>能力</code> 这个重要变量，在这种情况下，OLS 估计量 就不是 β的一致估计量，因为 ''' 包括了两部分的影响效果：一部分''' 是我们期望得到的受教育年数对收入的直接影响，'''另一部分''' 是来自于能力的间接影响，例如，能力高的人通常会有较高的受教育年数，从而有较高的收入。如果受教育时间增加 1 年与年收入增加 1,000 美元相关，我们就不能确定增加的 1,000 美元当中有多少是来自于 '''受教育年数多的影响'''，有多少是来自于 '''能力高''' 的影响。
我们可以使用工具变量估计法解决上述内生性问题。引入一个新的工具变量 ，它具有以下性质： 的变化与 的变化相关；除了 会间接的通过影响 来影响 之外， 的变化不会导致 的变化。例如，与大学相邻 () 可能会决定是否上大学，从而影响受教育年数 ()，但并不直接决定收入 ()。如下图三所示：<blockquote>当 的工具变量 满足以下条件时，IV 估计量 是一致估计量： （1） 与 相关； （2） 与 不相关。</blockquote>
== 2. IV 估计式 ==
在一般形式的回归模型（2）中（以矩阵形式表示）：
是由解释变量构成的 维矩阵， 是系数向量。定义一个矩阵 与 有着相同的维度，作为 的工具变量，将（2）式两端同乘以矩阵 ，则有：
工具变量 与 不相关，意味着当 趋于无穷大时 的概率极限为 0。因此，我们可以从下式中定义出 IV 估计量 ：
IV 估计量的一种有趣的情况是：如果零条件均值假设满足，每一个解释变量都可以做为自己的工具变量，即 ，此时，IV 估计量就缩减为 OLS 估计量。因此，当零条件均值假设满足时，OLS 估计量是 IV 估计量的一种特殊情形。
== 代码实现 ==
== 代码实现 ==