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第128行： − + − 一般来说，在一个无序的复杂系统中并不存在一个主要的本征值和微观态，但当我们将微观态转变为本征微观态时，原来的每个微观态都可以看作一系列的本征微观态的线性求和。+ 第153行：
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= 本征微观态及其演化 =
= 本征微观态及其演化 =
对于一个由<math>N</math>个主体组成的复杂系统，我们可以从实验测量或计算机模拟中获得主体的状态。依次使用时间<math>t=1, 2, … ,M</math>的状态，我们可以得到主体<math>i=1,2, … , N</math>的状态序列<math>S_i(t)</math>。
对于一个由<math>N</math>个主体组成的复杂系统，我们可以从实验测量或计算机模拟中获得主体的状态<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>。依次使用时间<math>t=1, 2, … ,M</math>的状态，我们可以得到主体<math>i=1,2, … , N</math>的状态序列<math>S_i(t)</math>。
== 演化的傅里叶谱分析 ==
== 演化的傅里叶谱分析 ==
第<math>I</math>个本征微观态的时间演化由<math>{{\boldsymbol{V}}}_{I}^{{\rm{T}}}=\left[{V}_{1I},{V}_{2I},\cdots ,{V}_{{MI}}\right]</math>来进行描述。为了获得更多关于本征微观态演变的信息，这里对<math>V</math>进行傅里叶级数展开，有<math>V_{t I}=\sum_{n=0}^{M-1} b_{n I} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{2 \pi}{M} n t}</math>，其中傅里叶系数为<math>b_{n I}=\frac{1}{M} \sum_{t=0}^{M-1} V_{t I} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \frac{2 \pi}{M} n t}</math>。
第<math>I</math>个本征微观态的时间演化由<math>{{\boldsymbol{V}}}_{I}^{{\rm{T}}}=\left[{V}_{1I},{V}_{2I},\cdots ,{V}_{{MI}}\right]</math>来进行描述<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>。为了获得更多关于本征微观态演变的信息，这里对<math>V</math>进行傅里叶级数展开，有<math>V_{t I}=\sum_{n=0}^{M-1} b_{n I} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{2 \pi}{M} n t}</math>，其中傅里叶系数为<math>b_{n I}=\frac{1}{M} \sum_{t=0}^{M-1} V_{t I} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \frac{2 \pi}{M} n t}</math>。
为了表征不同频率的比例，这里引入了傅里叶功率谱密度（Fourier power spectrum density）<math>I_n=\frac{\left|b_n^I\right|^2}{\sum_{n=0}^{M-1}\left|b_n^I\right|^2}</math>，这将可以展示其周期<math>T_n=M/n</math>。
为了表征不同频率的比例，这里引入了傅里叶功率谱密度（Fourier power spectrum density）<math>I_n=\frac{\left|b_n^I\right|^2}{\sum_{n=0}^{M-1}\left|b_n^I\right|^2}</math>，这将可以展示其周期<math>T_n=M/n</math>。
== 本征微观态和相变的凝聚 ==
== 本征微观态和相变的凝聚 ==
一般来说，在一个无序的复杂系统中并不存在一个主要的本征值和微观态，但当我们将微观态转变为本征微观态时，原来的每个微观态都可以看作一系列的本征微观态的线性求和<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>。
我们考虑有这么一个模型：具有方形几何结构的、具有周期性边界条件的三维伊辛模型（Ising model）。<math>N = L × L × L</math>的哈密顿方程是
我们考虑有这么一个模型：具有方形几何结构的、具有周期性边界条件的三维伊辛模型（Ising model）<ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>。<math>N = L × L × L</math>的哈密顿方程是
<math>\begin{eqnarray}H=-J\displaystyle \sum _{\langle i，j\rangle }^{N}{S}_{i}{S}_{j}\end{eqnarray}</math>，
<math>\begin{eqnarray}H=-J\displaystyle \sum _{\langle i，j\rangle }^{N}{S}_{i}{S}_{j}\end{eqnarray}</math>，
其中<math>S_i=±1</math>，<math>⟨i, j⟩</math>表示对最近邻域的所有自旋进行求和。这个模型的系统大小为<math>L</math>，还原温度<math>T = k*BT/J</math>。我们可以使用Wolff算法<ref name="wolff">{{cite journal |last1=Wolff|first1=Ulli|title=Collective Monte Carlo updating for spin systems|journal=Physical Review Letters|date=13 October 1988|volume=62|issue=4|doi=10.1103/PhysRevLett.62.361}}</ref>来获得系统的微观态，这个算法可以翻转一簇自旋而不是单一自旋。
其中<math>S_i=±1</math>，<math>⟨i, j⟩</math>表示对最近邻域的所有自旋进行求和。这个模型的系统大小为<math>L</math>，还原温度<math>T = k*BT/J</math>。我们可以使用Wolff算法<ref name="wolff">{{cite journal |last1=Wolff|first1=Ulli|title=Collective Monte Carlo updating for spin systems|journal=Physical Review Letters|date=13 October 1988|volume=62|issue=4|doi=10.1103/PhysRevLett.62.361}}</ref>来获得系统的微观态，这个算法可以翻转一簇自旋而不是单一自旋。
\vdots \\
\vdots \\
\delta S_N(t)
\delta S_N(t)
\end{array}\right]</math>，使用从1950年1月1日到2018年12月31日的数据集，我们可以得到一个<math>N×M</math>的集合矩阵<math>A</math>，元素为<math>A_{i t}=\frac{\delta S_i(t)}{\sqrt{C_0}}</math>，其中<math>C_0 = M · N</math>。
\end{array}\right]</math><ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>，借助从1950年1月1日到2018年12月31日的数据集，我们可以得到一个<math>N×M</math>的集合矩阵<math>A</math>，元素为<math>A_{i t}=\frac{\delta S_i(t)}{\sqrt{C_0}}</math>，其中<math>C_0 = M · N</math>。