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第243行： − [[文件:(a)2014年8月5日、(b)2005年9月21日、(c)2008年7月15日、(d)2010年1月31日，曲线P'和P作为时间的函数.jpg|缩略图|(a)2014年8月5日、(b)2005年9月21日、(c)2008年7月15日、(d)2010年1月31日，曲线P'和P作为时间t的函数]] − [[文件:2014年8月5日，(a)n=2，(b)n=3，(c)m=4，(d)n=5，P''（绿色），P'（红色），P（黑色）的曲线与时间的函数关系。.jpg|缩略图|2014年8月5日，(a)n=2，(b)n=3，(c)m=4，(d)n=5，P<nowiki>''</nowiki>（绿色），P'（红色），P（黑色）的曲线与时间的函数关系。]] − [[文件:（a）2014年8月5日，（b）2014年3月12日的曲线。.jpg|缩略图|（a）2014年8月5日，（b）2014年3月12日的曲线。]] + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
→在交通系统中
== 在交通系统中 ==
== 在交通系统中 ==
随着社会经济和文化的不断快速发展，飞机已成为人们普遍选择的交通工具。民航业作为重要的基础设施服务，对国家的经济发展越来越重要。但航班延误会使空中交通效率低下，给旅客带来不好的交通体验，给航空公司带来巨大的经济损失。目前，关于航班延误的研究报告很多，但从统计物理学角度开展的研究却很少。这里我们建立了民航系统的微观态，通过这些微观态得到统计系综，从而得到其本征微观态。
随着社会经济和文化的不断快速发展，飞机已成为人们普遍选择的交通工具。民航业作为重要的基础设施服务，对国家的经济发展越来越重要。但航班延误会使空中交通效率低下，给旅客带来不好的交通体验，给航空公司带来巨大的经济损失。目前，关于航班延误的研究报告很多，但从统计物理学角度开展的研究却很少。这里我们建立了民航系统的微观态，通过这些微观态得到统计系综，从而得到其本征微观态。
首先需要定义航班的延误时间。这里超过5分钟、少于240分钟的离港延误时间作为有效延误；如果一个航班的起飞延误时间超过240分钟，我们将其视为延误航班，但延误时间不参与后续计算。在某一时间点从第<math>i</math>个机场出发的延误航班的数量表示为<math>n_i</math>，某时间点的延误率定义为：<math>P=\frac{\sum_{i=1}^N n_i}{A}</math>，其中<math>N</math>为机场的数量，<math>A</math>是这个时间点航班的数量。我们将机场延误强度<math>D_a</math>定义为当前机场所有延误航班在当前时间点的总延误时间：<math>D_a=\sum_{i=1}^{n_a} d_i</math>，其中<math>D_i</math>是被延误航班的离港延误时间。
[[文件:(a)2014年8月5日、(b)2005年9月21日、(c)2008年7月15日、(d)2010年1月31日，曲线P'和P作为时间的函数.jpg|缩略图|(a)2014年8月5日、(b)2005年9月21日、(c)2008年7月15日、(d)2010年1月31日，曲线<math>P'</math>和<math>P</math>作为时间t的函数]]
[[文件:2014年8月5日，(a)n=2，(b)n=3，(c)m=4，(d)n=5，P''（绿色），P'（红色），P（黑色）的曲线与时间的函数关系。.jpg|缩略图|2014年8月5日，(a)n=2，(b)n=3，(c)m=4，(d)n=5，<math>P''</math>（绿色），<math>P'</math>（红色），<math>P</math>（黑色）的曲线与时间的函数关系。]]
[[文件:（a）2014年8月5日，（b）2014年3月12日的曲线。.jpg|缩略图|修改后的（a）2014年8月5日，（b）2014年3月12日的曲线。]]
我们可以通过将美国机场按特定顺序排列，并将其在某一时间点的延迟强度作为元素来获得一个向量。将这个向量归一化后，我们将得到微观态<math>S^I</math>和<math>\left|S^I\right|^2=\left[S^I\right]^T \cdot S^I=1</math>。这是飞行系统在这个时间点的微观态，它反映了延误在机场之间的分布。为了保证微观态向量具有相同的长度，我们选择12月30日运行的机场作为关键机场。民航系统的微观态由下式给出：
<math>S^I=\frac{1}{\sqrt{\sum_{i=1}^N D_i^2}}\left[D_1, D_2, \cdots, D_N\right]^T</math>。
我们将微观态<math>I</math>和微观态<math>J</math>之间的相关关系定义为<math>C_{I J}=\left[S^I\right]^T \cdot\left[S^J\right]</math>。这里假设相关矩阵<math>C</math>具有<math>M</math>个有序的特征值。即有<math>\lambda_1 \geq \lambda_2 \cdots \geq \lambda_M</math>，以及它们相应的归一化特征向量<math>b_1, b_2, \cdots, b_M</math>，其中<math>b_I=\left[\begin{array}{c}
b_{1 I} \\
b_{2 I} \\
\vdots \\
b_{M I}
\end{array}\right]</math>，并有<math>C b_I=\lambda_I b_I, I=1,2, \cdots . M</math>。
此时，我们就可以得到本征微观态<math>E^I=\sum_{L=1}^M b_{L I} S^L, I=1,2, \cdots, M</math> <ref name="Chen">{{cite journal |last1=Sun|first1=Yu|last2=Hu|first2=Gaoke|last3= Zhang|first3=Yongwen|last4=Lu|first4=Bo|last5=Lu|first5=Zhenghui|last6=Fan|first6=Jingfang|last7=Li|first7= Xiaoteng|last8=Deng|first8=Qimin|last9=Chen|first9=Xiaosong|title=Eigen microstates and their evolutions in complex systems|journal=Communications in Theoretical Physics|date=6 May 2021|volume=73|issue=6|doi=10.1088/1572-9494/abf127}}</ref>，且两个本征微观态之间的相关性被定义为<math>C_{I J}^E=\left[E^I\right]^T \cdot E^J=\sum_{l, m}^M b_{l I} C_{l m} b_{m J}=\lambda_I \delta_{I, J}</math>，本征微观态的权重系数被定义为<math>w_I^E=C_{I I}^E / M=\lambda_I / M</math>。
我们假设模拟的延误率为<math>P^{\prime}=a \cdot D^I \cdot S^I \cdot E^1+b</math>，右图显示了<math>P'</math>（红色）和实际延误率<math>P</math>（黑色）的曲线与时间的关系。可以看出，11点以后（也就是第44个时间点）<math>P'</math>的偏差很小，但11点以前的偏差比较大。
考虑到十点附近的最小飞行数和十点前后微观态的明显变化，我们认为较大的偏差主要是由于这段时间内这种变化的影响。我们再次假设，缺乏本征微观态是造成大偏差的原因。修改后的式子如下：
<math>P^{\prime \prime}=a \cdot D^I \cdot S^I \cdot E^1+b+c \cdot D^I \cdot S^I \cdot E^2</math>。
我们发现，其他本征微观态的关系曲线与十点左右的最大本征微观态相似，因此它们不能减少一天中前半段的偏差。我们可以从右图看出这一点。
为了避免第二个微观态在一天的后半段的干扰，我们只在第20个时间点和第45个时间点之间使用公式<math>P^{\prime \prime}=a \cdot D^I \cdot S^I \cdot E^1+b+c \cdot D^I \cdot S^I \cdot E^2</math>，而在其他时间点使用公式<math>P^{\prime}=a \cdot D^I \cdot S^I \cdot E^1+b</math>。修改后的曲线如右图所示。
这意味着，某一时间点的延误率与机场间的延误分布和民航系统的延误强度有正相关关系。因此，为了降低延误率，我们可以通过调整每个机场的起飞时间，并优化延误较多的关键机场来调整机场间的延误分布<ref>{{cite journal |last1=Qian|first1=Wenri|last2=Zhu|first2=Chenping|last3= Wang|first3=Yanjun|last4=Hu|first4=Chinkun|title=Eigen microstates of particle gases for passenger flights in the United States|journal=Chinese Journal of Physics|date=December 2020|volume=68|doi=10.1016/j.cjph.2020.09.035}}</ref>。
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