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第81行： − − [[文件:图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http---bulatov.org）.gif|缩略图|图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动）（图片来源于http---bulatov.org）|替代=|居中|398x398像素]] − [[文件:图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http---bulatov.org）.gif|缩略图|图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动）（图片来源于http---bulatov.org）|替代=|居中|398x398像素]] 第91行：
第88行： − 图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http://bulatov.org）+ − + − − − 共形圆盘的对称性和层次感不仅令数学家欣喜，也为艺术家所青睐，从埃舍尔画作开始，以共形圆盘为主题的造型作品层出不穷。<gallery widths="500" heights="300"> 第109行：
第103行： − − 图16 莫比乌斯与共形模型变换（图片来源于网络) − + + 第127行：
第120行： − − − 图19 共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
→共形模型
最常见的一类双曲模型叫做共形模型，共形性也被称为保角性，是指图形在投影前后尺寸有缩放，但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型，除了保角它还将所有空间映射到一个单位圆盘上，赋予我们上帝视角，这也是它广受欢迎的原因之一。
最常见的一类双曲模型叫做共形模型，共形性也被称为保角性，是指图形在投影前后尺寸有缩放，但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型，除了保角它还将所有空间映射到一个单位圆盘上，赋予我们上帝视角，这也是它广受欢迎的原因之一。
共形模型的缺点是保角不保距，在埃舍尔的圆极限中，我们已经知道同一条鱼放在圆盘各处有不同的大小；不但不保距，共形模型计算距离的方式也比较复杂。
共形模型的缺点是保角不保距，在埃舍尔的圆极限中，我们已经知道同一条鱼放在圆盘各处有不同的大小；不但不保距，共形模型计算距离的方式也比较复杂。
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共形圆盘的对称性和层次感不仅令数学家欣喜，也为艺术家所青睐，从埃舍尔画作开始，以共形圆盘为主题的造型作品层出不穷。
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文件:图14 上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络).jpg|图14：上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络)
文件:图14 上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络).jpg|图14：上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络)
文件:图13 以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)2.jpg|图13：以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)
文件:图13 以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)2.jpg|图13：以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)
</gallery>两种共形模型（圆盘和半平面）之间可以互相变换：圆盘的边缘对应半平面的下边界（叶节点)，而圆盘中心被映射到半平面上方的无穷远处(根节点)。这个变换仍然是保角的，叫做莫比乌斯变换。没错，就是发现莫比乌斯环的那位。
</gallery>两种共形模型（圆盘和半平面）之间可以互相变换：圆盘的边缘对应半平面的下边界（叶节点)，而圆盘中心被映射到半平面上方的无穷远处(根节点)。这个变换仍然是保角的，叫做莫比乌斯变换。没错，就是发现莫比乌斯环的那位。
[[文件:图16 莫比乌斯与共形模型变换（图片来源于网络)2.png|居中|缩略图|1080x1080像素|图16：莫比乌斯与共形模型变换（图片来源于网络)]]
[[文件:图16 莫比乌斯与共形模型变换（图片来源于网络)2.png|居中|缩略图|1080x1080像素|图16：莫比乌斯与共形模型变换（图片来源于网络)]]
圆盘模型和半平面模型是使用最多的共形模型，但实际上共形模型还有很多种。黎曼映射原理指出，任何单连通（没有洞）的图形都能共形地映射到单位圆内，反之亦然。 也就是说共形模型之间都可以互相变换。
圆盘模型和半平面模型是使用最多的共形模型，但实际上共形模型还有很多种。黎曼映射原理指出，任何单连通（没有洞）的图形都能共形地映射到单位圆内，反之亦然。 也就是说共形模型之间都可以互相变换。
例如Bands模型，使用双曲函数将圆盘展开拉伸，变成一条带子。于是埃舍尔的鱼便可以游到带子上了。 <gallery widths="800" heights="400">
例如Bands模型，使用双曲函数将圆盘展开拉伸，变成一条带子。于是埃舍尔的鱼便可以游到带子上了。
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文件:图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http---bulatov.org）.gif|图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http---bulatov.org）.gif|图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络).jpeg|图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络)
文件:图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络).jpeg|图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络)
文件:图19 共形模型的各种变换（图片来源于http---bulatov.org）4.gif|图19：共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图19 共形模型的各种变换（图片来源于http---bulatov.org）4.gif|图19：共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
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===射影模型===
===射影模型===