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第151行： − 图25 双曲面模型（图片来源于论文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks ） 第159行：
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→射影模型
另一类双曲空间模型叫做射影圆盘模型，也叫贝尔特拉米-克莱因模型，或克莱因圆盘。克莱因是19世纪德国的数学家，他把那个时代的所有几何统一起来，从群论的角度去分析，从而影响了几何学数十年的发展，这就是著名的“埃尔朗根纲领”。
另一类双曲空间模型叫做射影圆盘模型，也叫贝尔特拉米-克莱因模型，或克莱因圆盘。克莱因是19世纪德国的数学家，他把那个时代的所有几何统一起来，从群论的角度去分析，从而影响了几何学数十年的发展，这就是著名的“埃尔朗根纲领”。
克莱因模型的优势在于：(1）圆盘上的弦就是双曲空间中的直线，因而两点之间的最短距离是沿着直线的（2）圆盘上的距离计算相当简单，仅使用线段比例即可，这是它得名射影圆盘的原因；克莱因圆盘也是一个单位圆盘包罗世界。
克莱因模型的优势在于：(1）圆盘上的弦就是双曲空间中的直线，因而两点之间的最短距离是沿着直线的（2）圆盘上的距离计算相当简单，仅使用线段比例即可，这是它得名射影圆盘的原因；克莱因圆盘也是一个单位圆盘包罗世界。
[[文件:图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线（图片来源于网络).png|居中|缩略图|568x568像素|图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线（图片来源于网络)]]
[[文件:图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线（图片来源于网络).png|缩略图|568x568像素|图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线（图片来源于网络)|替代=|无]]
[[文件:图25 双曲面模型（图片来源于论文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks ）.jpg|居中|缩略图|386x386像素|图25 双曲面模型（图片来源于论文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks ）]]
[[文件:图25 双曲面模型（图片来源于论文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks ）.jpg|居中|缩略图|386x386像素|图25 双曲面模型（图片来源于论文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks ）]]
除了距离比较反常之外，双曲面模型其实具有很好的对称性，并且符合我们的物理直觉。例如，双曲面模型与过原点的平面相交即为测地线（最短距离)。
除了距离比较反常之外，双曲面模型其实具有很好的对称性，并且符合我们的物理直觉。例如，双曲面模型与过原点的平面相交即为测地线（最短距离)。
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这个投影点其实是双曲面另一个分支的顶点。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
这个投影点其实是双曲面另一个分支的顶点。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）.png|图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）.png|图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）2.jpg|图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）2.jpg|图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
</gallery>图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
</gallery>从坐标原点向双曲面投影，在顶点的切平面上将得到克莱因圆盘（注意圆盘上的测地线是直线）。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
从坐标原点向双曲面投影，在顶点的切平面上将得到克莱因圆盘（注意圆盘上的测地线是直线）。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
文件:图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）.png|图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
文件:图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）.png|图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
文件:图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）2.png|图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
文件:图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）2.png|图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
</gallery>图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
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如果采用平行光线投影，则可以得到Gans模型，Gans模型是另一种共形模型。
如果采用平行光线投影，则可以得到Gans模型，Gans模型是另一种共形模型。
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每一条定理、每一个模型都是数学史的浓缩，非欧几何巨擘除了本文已经提到的几位，还有罗巴切夫斯基、曼德布罗特等，双曲空间是巨擘们用数学和想象力创造出来的平行宇宙。
每一条定理、每一个模型都是数学史的浓缩，非欧几何巨擘除了本文已经提到的几位，还有罗巴切夫斯基、曼德布罗特等，双曲空间是巨擘们用数学和想象力创造出来的平行宇宙。
[[文件:图29 非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起-哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）.png|居中|缩略图|图29：非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起:哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）]]
[[文件:图29 非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起-哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）.png|缩略图|图29：非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起:哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）|替代=|无|568x568像素]]
==3.跨学科旅行==
==3.跨学科旅行==