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第12行： + − + − 指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏，这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等，因而可用鱼长作为标尺。在图2中，黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼（黄线更长），这意味着两点之间的最短距离不再是直线，而是向圆盘中心弯曲的曲线。+ + 第25行：
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→初识双曲空间
文件:图片1-2.png|图1：圆极限Ⅳ（右）
文件:图片1-2.png|图1：圆极限Ⅳ（右）
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"魔力"圆盘引导我们得到以下发现：
"魔力"圆盘引导我们得到以下发现：
(1) 指数增长的空间。圆盘上的每条鱼都一样大，之所以远离中心的鱼看起来小，并不是鱼真的变小，而是圆盘在此处“膨胀”从而装下了更多的鱼。事实上，圆盘空间是指数级增长的：当半径为 时，圆盘的面积将增长为 ——圆盘面积=单条鱼的面积×鱼的数量，而鱼的数量在指数增长——我们熟悉的面积公式 不再适用。如果来到圆盘边缘，每一条鱼会显得无限小，此时圆盘装下了整个宇宙。
'''(1) 指数增长的空间。'''圆盘上的每条鱼都一样大，之所以远离中心的鱼看起来小，并不是鱼真的变小，而是圆盘在此处“膨胀”从而装下了更多的鱼。事实上，圆盘空间是指数级增长的：当半径为<nowiki><math>r<math>时，圆盘的面积将增长为 ——圆盘面积=单条鱼的面积×鱼的数量，而鱼的数量在指数增长——我们熟悉的面积公式 不再适用。如果来到圆盘边缘，每一条鱼会显得无限小，此时圆盘装下了整个宇宙。</nowiki>
指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏，这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等，因而可用鱼长作为标尺。在图2中，黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼（黄线更长），'''这意味着两点之间的最短距离不再是直线'''，而是向圆盘中心弯曲的曲线。
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三条首尾相接的线段仍然构成三角形，但三角形的内角和不再是180度，而是小于180度。有多小呢，答案是可以趋于0度！
三条首尾相接的线段仍然构成三角形，但三角形的内角和不再是180度，而是小于180度。有多小呢，答案是可以趋于0度！
(2) 连续的层级。在圆极限IV上，每位白色天使邻接三个黑色恶魔，恶魔也邻接三位天使，从圆盘中心到边缘层层展开。在圆极限III中，鱼的脊线交织，也形成类似的结构。
'''(2) 连续的层级。'''在圆极限IV上，每位白色天使邻接三个黑色恶魔，恶魔也邻接三位天使，从圆盘中心到边缘层层展开。在圆极限III中，鱼的脊线交织，也形成类似的结构。
这是不是让你想到了无穷分叉的树结构？树结构有一个根节点，从根节点往外层层分叉，树结构的节点数量随着层数指数增长。更重要的是，圆盘上的距离也近似于树结构上的距离：在圆盘上，两点间的最短路线偏向圆盘中心（图2中的红色实线)；在树结构上，两节点的最短距离则要经过它们共同的父节点。
这是不是让你想到了无穷分叉的树结构？树结构有一个根节点，从根节点往外层层分叉，树结构的节点数量随着层数指数增长。更重要的是，圆盘上的距离也近似于树结构上的距离：在圆盘上，两点间的最短路线偏向圆盘中心（图2中的红色实线)；在树结构上，两节点的最短距离则要经过它们共同的父节点。
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