2,367
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第17行：
第17行： − + + + + + + + +
→初识双曲空间
"魔力"圆盘引导我们得到以下发现：
"魔力"圆盘引导我们得到以下发现：
'''(1) 指数增长的空间。'''圆盘上的每条鱼都一样大，之所以远离中心的鱼看起来小，并不是鱼真的变小，而是圆盘在此处“膨胀”从而装下了更多的鱼。事实上，圆盘空间是指数级增长的：当半径为<math>r</math>时，圆盘的面积将增长为 ——圆盘面积=单条鱼的面积×鱼的数量，而鱼的数量在指数增长——我们熟悉的面积公式 不再适用。如果来到圆盘边缘，每一条鱼会显得无限小，此时圆盘装下了整个宇宙。
'''(1) 指数增长的空间。'''圆盘上的每条鱼都一样大，之所以远离中心的鱼看起来小，并不是鱼真的变小，而是圆盘在此处“膨胀”从而装下了更多的鱼。事实上，圆盘空间是指数级增长的：当半径为<math>r</math>时，圆盘的面积将增长为
<math>A \propto e^{r}<math>
——圆盘面积=单条鱼的面积×鱼的数量，而鱼的数量在指数增长——我们熟悉的面积公式
<math>A \propto e^{r}A=\pi r^{2}</math>
不再适用。
如果来到圆盘边缘，每一条鱼会显得无限小，此时圆盘装下了整个宇宙。
指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏，这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等，因而可用鱼长作为标尺。在图2中，黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼（黄线更长），'''这意味着两点之间的最短距离不再是直线'''，而是向圆盘中心弯曲的曲线。
指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏，这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等，因而可用鱼长作为标尺。在图2中，黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼（黄线更长），'''这意味着两点之间的最短距离不再是直线'''，而是向圆盘中心弯曲的曲线。