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第311行：
第311行： − + 第317行：
第317行： − + − 也可以计算归一化后的CE：+ + + + + + + + + − <math> − dCE(TPM_M,TPM_m) = \frac{EI(TPM_M)}{n_M} - \frac{EI(TPM_m)}{n_m} − </math>
→因果涌现（CE）
其实，无论如何定义这两项，关键在于理解它们的物理含义。确定性指的是，已知当前时刻状态概率分布，对未来可能状态的判断有多大的把握；而简并性指的是，已知当前的状态，追溯历史，我们能有多大确定性做出判断。如果有状态在动力学过程中发生简并，我们回溯历史时能运用的信息就会变少。当一个系统背后的动力学确定性高，同时简并性低时，说明这是一个具有明显因果效应的动力学。这就是EI本身的物理含义。
其实，无论如何定义这两项，关键在于理解它们的物理含义。确定性指的是，已知当前时刻状态概率分布，对未来可能状态的判断有多大的把握；而简并性指的是，已知当前的状态，追溯历史，我们能有多大确定性做出判断。如果有状态在动力学过程中发生简并，我们回溯历史时能运用的信息就会变少。当一个系统背后的动力学确定性高，同时简并性低时，说明这是一个具有明显因果效应的动力学。这就是EI本身的物理含义。
=因果涌现（CE）=
==因果涌现==
有了有效信息这一度量指标后，因果涌现的框架可以被呈现出来了。对于一个系统，观察者可以建立多尺度视角去观测，区分出微观和宏观。收集到的微观数据可以直接反映微观动力学，在经过粗粒化映射（coarse-graining）后，由微观变量得到对应的宏观变量，也自然会有相应的宏观动力学。对两个动力学分别可以计算EI，如果宏观EI大于微观EI，认为有因果涌现发生。
有了有效信息这一度量指标后，因果涌现的框架可以被呈现出来了。对于一个系统，观察者可以建立多尺度视角去观测，区分出微观和宏观。收集到的微观数据可以直接反映微观动力学，在经过粗粒化映射（coarse-graining）后，由微观变量得到对应的宏观变量，也自然会有相应的宏观动力学。对两个动力学分别可以计算EI，如果宏观EI大于微观EI，认为有因果涌现发生。
[[文件:CE.png|缩略图]]
[[文件:CE.png|缩略图]]
<math>
<math>
CE = EI(TPM_M) - EI(TPM_m)
CE = EI(P_M) - EI(P_m)
</math>
</math>
这里[math]P_m[/math]为微观状态的马尔科夫概率转移矩阵，维度为：[math]N\times N[/math]，这里N为微观的状态数；而[math]P_M[/math]为对[math]P_m[/math]做粗粒化操作之后得到的宏观态的马尔科夫概率转移矩阵，维度为[math]M\times M[/math]，其中[math]M<N[/math]为宏观状态数。
关于如何对马尔科夫概率转移矩阵实施粗粒化的方法，往往体现为两步：1、对微观状态做归并，将N个微观态，归并为M个宏观态；2、对马尔科夫转移矩阵做约简。关于具体的粗粒化马尔科夫链的方法，请参考[[马尔科夫链的粗粒化]]。
下面，我们展示一个具体的因果涌现的例子：
[[文件:Example1.png|815x815px|无框|居中]]
上图展示了几种马尔科夫链的转移概率矩阵，其中（a）是确定性高，简并性低，所以整体eff比较高。（b）则是确定性和简并性都比较高，所以eff是0。（c）相比于（a）确定性更低，（d）也是确定性和简并性都较高导致eff较低，它们都可以通过同一种粗粒化策略（将前4个状态合并为一个状态）来得到（e）。此时（e）确定性很高，无简并性，所以（e）的eff比（c）（d）要高。
=连续系统的EI=
=连续系统的EI=
现实中大部分系统都要在连续空间上考虑，所以很有必要将EI的概念拓展到连续系统上。最初Erik Hoel考虑到了这一点，提出了[[因果几何]]，旨在对形如<math>y=f(x)+\varepsilon, \varepsilon\sim\mathcal{N}(0,\epsilon^2)</math>的动力学能够度量有效信息的大小。然而连续变量的信息度量和离散上的信息指标性质很不相同，经过数学推导，我们发现连续变量的有效信息依赖于观测噪音以及干预噪音。其数学形式如下所示。
现实中大部分系统都要在连续空间上考虑，所以很有必要将EI的概念拓展到连续系统上。最初Erik Hoel考虑到了这一点，提出了[[因果几何]]，旨在对形如<math>y=f(x)+\varepsilon, \varepsilon\sim\mathcal{N}(0,\epsilon^2)</math>的动力学能够度量有效信息的大小。然而连续变量的信息度量和离散上的信息指标性质很不相同，经过数学推导，我们发现连续变量的有效信息依赖于观测噪音以及干预噪音。其数学形式如下所示。