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===一阶导数及极值点===

===一阶导数及极值点===

不失一般性，我们不妨假设对于选定的[math]i,j\in[1,N][/math]，[math]p_{ij},p_{iN},\bar{p}_{\cdot j}\equiv \frac{\sum_{k=1}^Np_{kj}}{N},\bar{p}_{\cdot N}\equiv \frac{\sum_{k=1}^Np_{kN}}{N}[/math]都是大于0的，则EI在[math]p_{ij}[/math]附近是可导的，对公式{{EquationNote|2}}求[math]p_{ij}[/math]的一阶导数，并注意到归一化条件[math]\sum_{j=1}^Np_{ij}=1[/math]，则就可以得到：

对公式{{EquationNote|2}}求[math]p_{ij}[/math]的一阶导数，并注意到归一化条件[math]\sum_{j=1}^Np_{ij}=1[/math]，则就可以得到：

<math>

<math>

\frac{\partial EI}{\partial p_{ij}}=\log\left(\frac{p_{ij}}{p_{iN}}\right)-\log\left(\frac{\bar{p}_{\cdot j}}{\bar{p}_{\cdot N}}\right),

        \frac{\partial EI}{\partial p_{ij}}=\log\left(\frac{p_{ij}}{p_{iN}}\right)-\log\left(\frac{\bar{p}_{\cdot j}}{\bar{p}_{\cdot N}}\right),

</math>

</math>

其中，<math>p_{ij}</math>表示P中第i行第j列的条件概率，因为P每一行有归一化约束条件，所以EI函数本身有<math>N(N-1)</math>个自由变元，我们可以取<math>1\leq i\leq N, 1\leq j\leq N-1</math>。<math>p_{iN}</math>表示第i行第N列的条件概率，<math>\bar{p}_{\cdot j}, \bar{p}_{\cdot N}</math>则分别表示第j列和第N列条件概率的均值。令该式等于0，可以求得极值点：即对于任意的<math>1\leq i\leq N, 1\leq j\leq N-1</math>，都有下式的成立，

其中，<math>p_{ij}</math>表示P中第i行第j列的条件概率，因为P每一行有归一化约束条件{{EquationNote|2}}，所以EI函数本身有<math>N(N-1)</math>个自由变元，我们可以取<math>1\leq i\leq N, 1\leq j\leq N-1</math>。<math>p_{iN}</math>表示第i行第N列的条件概率，<math>\bar{p}_{\cdot j}, \bar{p}_{\cdot N}</math>则分别表示第j列和第N列条件概率的均值。不难看出，该导数有定义的前提是对于选定的[math]i,j\in[1,N][/math]，[math]p_{ij},p_{iN},\bar{p}_{\cdot j}\equiv \frac{\sum_{k=1}^Np_{kj}}{N},\bar{p}_{\cdot N}\equiv \frac{\sum_{k=1}^Np_{kN}}{N}[/math]都大于0，只有满足这个条件，则EI在[math]p_{ij}[/math]附近是可导的。否则，如果有一项为0，则导数不存在。

 

令式{{EquationNote|3}}等于0，可以求得极值点：即对于任意的<math>1\leq i\leq N, 1\leq j\leq N-1</math>，都有下式的成立，

<math>

<math>

 

p_{ij}=\bar{p}_{\cdot j}=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^Np_{kj}

        p_{ij}=\bar{p}_{\cdot j}=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^Np_{kj}

</math>

</math>

不难计算出，此时<math>EI=0</math>，即EI达到了极值点。根据EI的二阶导数不难判断出，这是极小值点。换个角度来看这个公式，这意味着EI的极小值点有很多个，只要转移概率矩阵所有行向量完全一致，无论该行向量本身是怎样的分布，EI都会等于0。如果[math]p_{ij},p_{iN},\bar{p}_{\cdot j}\equiv \frac{\sum_{k=1}^Np_{kj}}{N},\bar{p}_{\cdot N}\equiv \frac{\sum_{k=1}^Np_{kN}}{N}[/math]中存在着0，那么EI在此处不可导。

不难计算出，此时<math>EI=0</math>，即EI达到了极值点。根据EI的二阶导数不难判断出，这是极小值点。换个角度来看这个公式，这意味着EI的极小值点有很多个，只要转移概率矩阵所有行向量完全一致，无论该行向量本身是怎样的分布，EI都会等于0。

===二阶导数与凸性===

===二阶导数与凸性===