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第702行：
第702行： − 连续映射EI的表达式可以扩展到更高的维度，假设<math>\mathbf{x}\in[-L/2，L/2]^n\subset\mathcal{R}^n+ − </math>且<math>\mathbf{y}\in\mathcal{R}^m+ + + − + + − </math>和<math>m+ − − </math>是正整数。只存在观测噪声的情况下，EI可以推广为以下形式： − − − 其中<math>\Sigma+ − + − </math>是高斯噪声<math>\varepsilon − − </math>的协方差矩阵，<math>U([-L，L]^n) − − </math>表示超立方体<math>[-L，L]^n − − </math>上的均匀分布，<math>|\cdot| − − − − − − 为了将信息几何推广到具有干预噪声和观测噪声的情况，需要引入一个新的维度为<math>l − − </math>的中间变量<math>\theta\subset\mathcal{R}^l − − </math>，使得我们不能通过直接干预<math>\mathbf{x} − − </math>来控制<math>\mathbf{y} − − </math>。相反，我们可以干预<math>\mathbf{x} − − </math>以影响<math>\theta − − </math>并间接影响<math>\mathbf{y} − − </math>。因此，这三个变量形成了一个马尔可夫链：<math>\mathbf{x}\to\theta\to\mathbf{y} − + − + − − − − − − − + + +
→高维情况
===高维情况===
===高维情况===
我们可以把上述对一维变量的EI计算推广到更一般的n维情景。即：
<math>
\mathbf{y}=f(\mathbf{x})+\xi, \xi\sim \mathcal{N}(0,\Sigma)
</math>
</math>，其中<math>n
其中<math>\Sigma</math>是高斯噪声<math>\xi</math>的协方差矩阵。
首先，我们将[math]\mathbf{x}[/math]干预成<math>[-L/2，L/2]^n\subset\mathcal{R}^n</math>上的均匀分布，<math>[-L，L]^n</math>表示n维空间中的超立方体，我们假设<math>\mathbf{y}\in\mathcal{R}^m</math>，其中<math>n</math>和<math>m</math>是正整数。只存在观测噪声的情况下，EI可以推广为以下形式：
<math>EI\approx \ln\left(\frac{L^n}{(2\pi e)^{m/2}}\right)+\frac{1}{2}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right|^2 d\mathbf{x},
<math>EI\approx \ln\left(\frac{L^n}{(2\pi e)^{m/2}}\right)+\frac{1}{2}\mathbb{E}_{\mathbf{x}\sim U ([-\frac{L}{2},\frac{L}{2}]^n)}\ln\left|\det\left(\frac{\partial_\mathbf{x} f(\mathbf{x})}{\Sigma^{1/2}}\right)\right|^2,
</math>
</math>
其中，<math>|\cdot|</math>是绝对值运算，<math>\det</math>是行列式。
<!--
</math>是绝对值运算，<math>\det
</math>是行列式。
</math>。
为了将信息几何推广到具有干预噪声和观测噪声的情况，需要引入一个新的维度为<math>l</math>的中间变量<math>\theta\subset\mathcal{R}^l</math>，使得我们不能通过直接干预<math>\mathbf{x}</math>来控制<math>\mathbf{y}</math>。相反，我们可以干预<math>\mathbf{x}</math>以影响<math>\theta</math>并间接影响<math>\mathbf{y}</math>。因此，这三个变量形成了一个马尔可夫链：<math>\mathbf{x}\to\theta\to\mathbf{y}</math>。
在这种情况下，可以获得两个流形：效应流形<math>\mathcal{M}_E=\{p(\mathbf{y}|\theta)\}_{\theta}
在这种情况下，可以获得两个流形：效应流形<math>\mathcal{M}_E=\{p(\mathbf{y}|\theta)\}_{\theta}</math>，度量为<math>g_{\mu\nu}=-\mathbb{E}_{p(\mathbf{y}|\theta)}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\ln p(\mathbf{y}|\theta)</math>；干预流形<math>\mathcal{M}_I=\{\tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)\}_{\theta\in \Theta}</math>，度量为<math>h_{\mu\nu}=-\mathbb{E}_{\tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\ln \tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)</math>。其中<math>\tilde{q}\equiv \frac{q(\theta|\mathbf{x})}{\int q(\theta|\mathbf{x})d\mathbf{x}}</math>，<math>\partial_{\mu}=\partial/\partial \theta_{\mu}</math>。效应和干预两个流形合在一起称为因果几何。
</math>$$，度量为<math>g_{\mu\nu}=-\mathbb{E}_{p(\mathbf{y}|\theta)}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\ln p(\mathbf{y}|\theta)
</math>；干预流形<math>\mathcal{M}_I=\{\tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)\}_{\theta\in \Theta}
</math>，度量为<math>h_{\mu\nu}=-\mathbb{E}_{\tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\ln \tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)
</math>。其中<math>\tilde{q}\equiv \frac{q(\theta|\mathbf{x})}{\int q(\theta|\mathbf{x})d\mathbf{x}}
</math>，<math>\partial_{\mu}=\partial/\partial \theta_{\mu}
</math>。效应和干预两个流形合在一起称为因果几何。
因果几何的EI计算公式为:
因果几何的EI计算公式为:
<math>EI_g=\ln\frac{V_I}{(2\pi e)^{n/2}}-\frac{1}{2V_I}\int_\Theta\sqrt{|\det(h_{\mu\nu})|} \ln\left|\det\left( I_n+\frac{h_{\mu\nu}}{g_{\mu\nu}}\right)\right|d^l\theta,
<math>
EI_g=\ln\frac{V_I}{(2\pi e)^{n/2}}-\frac{1}{2V_I}\int_\Theta\sqrt{|\det(h_{\mu\nu})|} \ln\left|\det\left( I_n+\frac{h_{\mu\nu}}{g_{\mu\nu}}\right)\right|d^l\theta,
</math>
</math>
-->
==维度平均的EI与因果涌现==
==维度平均的EI与因果涌现==