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{{NumBlk|:|<blockquote><math>\mathbf{y}(t+1) = \mathbf{y}_t + \int_t^{t+1} f_\beta (\mathbf{y}(\tau), \xi') d\tau \approx \mathbf{y}_t + f_\beta (\mathbf{y}_t)+\xi'</math></blockquote>|{{EquationRef|11}}}}
{{NumBlk|:|<blockquote><math>\mathbf{y}(t+1) = \mathbf{y}_t + \int_t^{t+1} f_\beta (\mathbf{y}(\tau), \xi') d\tau \approx \mathbf{y}_t + f_\beta (\mathbf{y}_t)+\xi'</math></blockquote>|{{EquationRef|11}}}}
其中，<math>\xi' \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)</math> 或 <math>Laplacian(0, \Sigma),</math> <math>\Sigma = diag (\sigma_1^2, \sigma_2^2, ···, \sigma_q^2)</math> 是协方差矩阵，<math>\sigma_i</math> 是第 <math>i</math> 维度的标准差（可以学习或固定）。因此，该动力学的转移概率可被写作：
其中，<math>\xi' \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)</math> 或 <math>Laplacian(0, \Sigma),</math> <math>\Sigma = diag (\sigma_1^2, \sigma_2^2, ···, \sigma_q^2)</math> 是协方差矩阵，<math>\sigma_i</math> 是第 <math>i</math> 维度的标准差（可以学习或固定）。因此，该动力学的转移概率可被写作：
{{NumBlk|:|<blockquote><math>P(\mathbf{y}(t+1)|\mathbf{y}_t) = \mathcal{D}(\mu (\mathbf{y}_t), \Sigma) \qquad (12)</math></blockquote>|{{EquationRef|12}}}}
{{NumBlk|:|<blockquote><math>P(\mathbf{y}(t+1)|\mathbf{y}_t) = \mathcal{D}(\mu (\mathbf{y}_t), \Sigma)</math></blockquote>|{{EquationRef|12}}}}
其中，<math>\mathcal{D}</math> 指表示高斯分布或拉普拉斯分布的概率密度函数，<math>\mu (\mathbf{y}_t) \equiv \mathbf{y}_t+f_\beta(\mathbf{y}_t)</math> 是分布的均值向量。
其中，<math>\mathcal{D}</math> 指表示高斯分布或拉普拉斯分布的概率密度函数，<math>\mu (\mathbf{y}_t) \equiv \mathbf{y}_t+f_\beta(\mathbf{y}_t)</math> 是分布的均值向量。
dz/dt = v \\
dz/dt = v \\
dv/dt = -z
dv/dt = -z
\end{cases} \qquad (26)</math></blockquote>|{{EquationRef|26}}}}
\end{cases}</math></blockquote>|{{EquationRef|26}}}}
其中<math>z</math>和<math>v</math>分别是振荡器的一维位置与速度。定义系统状态<math>\mathbf{x} = (z,v)</math>。
其中<math>z</math>和<math>v</math>分别是振荡器的一维位置与速度。定义系统状态<math>\mathbf{x} = (z,v)</math>。
\tilde{\mathbf{x}}_1 = \mathbf{x} + \xi \\
\tilde{\mathbf{x}}_1 = \mathbf{x} + \xi \\
\tilde{\mathbf{x}}_2 = \mathbf{x} - \xi \\
\tilde{\mathbf{x}}_2 = \mathbf{x} - \xi \\
\end{cases} \qquad (27)</math></blockquote>|{{EquationRef|27}}}}
\end{cases}</math></blockquote>|{{EquationRef|27}}}}
其中<math>\xi \sim \mathcal{N}(0,\sigma)</math> 是符合二维高斯分布的随机数值，<math>\sigma</math> 是位置与速度标准差的向量。将状态<math>\mathbf{x}</math>理解为潜在宏观状态，测量微状态<math>\tilde{\mathbf{x}_1}</math>，<math>\tilde{\mathbf{x}_2}</math>。 NIS从测量值中恢复潜在的宏观X。
其中<math>\xi \sim \mathcal{N}(0,\sigma)</math> 是符合二维高斯分布的随机数值，<math>\sigma</math> 是位置与速度标准差的向量。将状态<math>\mathbf{x}</math>理解为潜在宏观状态，测量微状态<math>\tilde{\mathbf{x}_1}</math>，<math>\tilde{\mathbf{x}_2}</math>。 NIS从测量值中恢复潜在的宏观X。
[[文件:NIS Fig 4.png|居中|600px|'''图4.''' 具有测量噪声的简单弹簧振荡器的实验结果。]]
[[文件:NIS Fig 4.png|居中|600px|'''图4.''' 具有测量噪声的简单弹簧振荡器的实验结果。]]
1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 0 \\
1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 1/7 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \qquad (28)</math></blockquote>|{{EquationNote|28}}}}
\end{pmatrix}</math></blockquote>|{{EquationNote|28}}}}
[[文件:NIS Fig 6.png|居中|600px|'''图6.''' 简单马尔可夫链的实验结果。]]
[[文件:NIS Fig 6.png|居中|600px|'''图6.''' 简单马尔可夫链的实验结果。]]
该系统有 8 个状态，其中 7之间 个可以相互转移，最后一个状态是独立的。使用一个 one-hot 向量编码状态（例如状态2 将表示为 (0,1,0,0,0,0,0,0)）。对初始状态进行 50,000 个批次的采样以生成数据，然后将 one-hot 向量输入 NIS 框架，经过 50,000 个迭代轮次的训练后可以得到一个有效的模型。结果如图 6 所示。
该系统有 8 个状态，其中 7之间 个可以相互转移，最后一个状态是独立的。使用一个 one-hot 向量编码状态（例如状态2 将表示为 (0,1,0,0,0,0,0,0)）。对初始状态进行 50,000 个批次的采样以生成数据，然后将 one-hot 向量输入 NIS 框架，经过 50,000 个迭代轮次的训练后可以得到一个有效的模型。结果如图 6 所示。