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第1,100行： − 2、逆矩阵同样满足马尔科夫链的条件，也就是矩阵的每一行是归一的，且每个元素都位于[0,1]之间。+ − + − + 第1,135行：
第1,135行： − 关于马尔科夫链的近似动力学可逆性的进一步讨论和说明，请参考词条：[[近似动力学可逆性]]，以及论文：<ref name=zhang_reversibility/>+ 第1,185行：
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→因果元语的定义
\begin{aligned}
\begin{aligned}
\text{必要性}'
\text{必要性}'
\text{：}~~~nec'(e,c) = 1 - P(e|C)
\text{：}~~~nec'(e) = 1 - P(e|C)
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
根据定义，当<math>c</math>为极小概率事件时，<math>nec(e,c) \approx nec^\dagger(e,c)</math>。当<math>C</math>为连续状态空间时，可认为两者等价。
根据定义，当<math>c</math>为极小概率事件时，<math>nec(e,c) \approx nec'(e)</math>。当<math>C</math>为连续状态空间时，可认为两者等价。
注意：<math>nec'</math>的定义与文献<ref name=":0" />中定义的<math>nec^\dagger = P(e|C\backslash c)</math>不同，两者关系为<math>net' = 1 - nec^\dagger</math>。
注意：<math>nec'(e)</math>的定义与文献<ref name=":0" />中定义的<math>nec^\dagger(e) = P(e|C)</math>不同，两者关系为<math>net'(e) = 1 - nec^\dagger(e)</math>。
=== 因果元语与确定性和简并性 ===
=== 因果元语与确定性和简并性 ===
<math>
<math>
\begin{aligned}
\begin{aligned}
determinism = 1 - \frac{\log_2{\frac{1}{suff}}}{\log_2{N}} \\
determinism = \sum_{e \in E, c \in C}{P(e,c) det(e,c)}, ~~ \text{where} ~~ det(e,c) = 1 - \frac{\log_2{\frac{1}{suff(e,c)}}}{\log_2{N}} \\
degeneracy = 1 - \frac{\log_2{\frac{1}{1 - nec'}}}{\log_2{N}}
degeneracy = \sum_{e \in E}{P(e|c) deg(e)}, ~~ \text{where} ~~ deg(e) = 1 - \frac{\log_2{\frac{1}{1 - nec'(e)}}}{\log_2{N}}
\end{aligned}
\end{aligned}
1、矩阵是可逆的；
1、矩阵是可逆的；
2、矩阵满足马尔科夫链的归一化条件，也就是对于任意的[math]i\in[1,N][/math]来说，[math]|P_i|_1=1[/math]
我们将这一性质称为[[动力学可逆性]]。因此，从某种程度上说，EI衡量的是马尔科夫链的一种[[动力学可逆性]]。
我们将这一性质称为[[动力学可逆性]]。因此，从某种程度上说，EI衡量的是马尔科夫链的一种[[动力学可逆性]]。
需要注意的是，这里所说的马尔科夫链的[[动力学可逆性]]与通常意义下的[[马尔科夫链的可逆性]]是不等同的。前者的可逆性体现为马尔科夫概率转移矩阵的可逆性，也就是它针对状态空间中的每一个确定性状态的运算都是可逆的，所以也称其为动力学可逆的。但是，通常意义下的可逆的马尔科夫链并不要求转移矩阵是可逆的，而是状态分布在演化下是可逆的。
需要注意的是，这里所说的马尔科夫链的[[动力学可逆性]]与通常意义下的[[马尔科夫链的可逆性]]是不等同的。前者的可逆性体现为马尔科夫概率转移矩阵的可逆性，也就是它针对状态空间中的每一个确定性状态的运算都是可逆的，所以也称其为动力学可逆的。但是，文献中通常意义下的可逆的马尔科夫链并不要求转移矩阵是可逆的，而是要以稳态分布为时间反演对称轴，使得在动力学P作用构成的演化下的正向时间形成的状态分布序列和逆向状态分布序列完全相同。
由于[[排列置换矩阵]]过于特殊，我们需要一种能够衡量一般的马尔科夫概率转移矩阵与排列置换矩阵的靠近程度，以度量其[[近似动力学可逆性]]。在文献<ref name=zhang_reversibility/>中，作者们提出了一种用矩阵的类[[Schatten范数]]来度量一个马尔科夫概率转移矩阵的[[近似动力学可逆性]]的方法，定义为：
由于[[排列置换矩阵]]过于特殊，我们需要能够衡量一般的马尔科夫概率转移矩阵与排列置换矩阵的靠近程度，以度量其[[近似动力学可逆性]]。在文献<ref name=zhang_reversibility/>中，作者们提出了一种用矩阵的类[[Schatten范数]]来度量一个马尔科夫概率转移矩阵的[[近似动力学可逆性]]的方法，定义为：
<math>
<math>
</math>
</math>
关于[[马尔科夫链的近似动力学可逆性]]的进一步讨论和说明，请参考词条：[[近似动力学可逆性]]，以及论文：<ref name=zhang_reversibility/>
==EI与JS散度==
==EI与JS散度==
*Yuan, B.; Zhang, J. et al. [https://www.mdpi.com/1099-4300/26/2/108 Emergence and Causality in Complex Systems: A Survey of Causal Emergence and Related Quantitative Studies]. ''Entropy'' 2024, ''26'', 108.
*Yuan, B.; Zhang, J. et al. [https://www.mdpi.com/1099-4300/26/2/108 Emergence and Causality in Complex Systems: A Survey of Causal Emergence and Related Quantitative Studies]. ''Entropy'' 2024, ''26'', 108.
===学习路径推荐===
===路径推荐===
*[[张江]]根据因果涌现前五季读书会整理的因果涌现入门路径：https://pattern.swarma.org/article/296
*张江老师根据因果涌现读书会第一季梳理的关于因果涌现的学习路径：https://pattern.swarma.org/article/153
*[[张江]]根据因果涌现读书会第一季梳理的关于因果涌现的学习路径：https://pattern.swarma.org/article/153
*张江老师根据因果涌现前五季读书会整理的因果涌现入门路径：https://pattern.swarma.org/article/296
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