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第12行： − 正则化流模型（Normalizing Flow）和NIS在某些方面具有相似性。它们都致力于使用可逆神经网络（INN）将复杂的微观状态<math>s</math>映射到更简单的宏观状态<math>S</math>，即粗粒化过程。在这种粗粒化之后，二者都试图最大化由此产生的有效信息量<math>L(s,S)</math>，从而提取出系统中重要的宏观动态特征。这种方法可以帮助理解复杂系统中的涌现现象和因果关系，在数据建模和分析中有较大应用潜力。+ 第29行：
第32行： − 作为神经网络框架，NIS本质上是一种粗粒化函数。其分为编码器、动力学学习器与解码器，可以由微观状态的时间序列输入、经训练后输出如下四个部分：+ 第130行：
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NIS（神经信息压缩器）是一个以最大化粗粒化过程中有效信息的神经网络框架。它由可逆神经网络组成，分为编码器、解码器、动力学学习器三部分，可以通过微观状态时间序列的输入、训练后输出粗粒化策略、宏观动力学、最优建模尺度，并判断是否存在因果涌现。NIS框架可以被视为一个压缩信道，通过投影操作在中间进行信道压缩。这种压缩信息通道通过约束粗粒化策略，将复杂的微观状态映射到简单的宏观状态，从而定义了有效的粗粒化策略和宏观动态。基于信息瓶颈理论，NIS框架通过神经网络模型的训练过程中，逐渐使得其输出与真实数据的互信息接近于 <math> I(\mathbf{x}{t+1}; \mathbf{x}_t) </math>，从而增强了整个系统的因果涌现特性。
验证其性质的实验包括带测量噪声的弹簧振荡器、简单布尔网络等，由其部分不足之处也衍生出了NIS+框架。NIS在信息瓶颈理论的指导下，展示了在时间序列数据中发现因果涌现的理论性质和应用潜力。
=历史=
=历史=
==Normalizing Flow（标准化流）技术==
==标准化流技术==
标准化流（Normalizing Flows，NF）是一类通用的方法，它通过构造一种可逆的变换，将任意的数据分布<math>p_x (\mathbf{x}) </math>变换到一个简单的基础分布<math>p_z (\mathbf{z})</math>，因为变换是可逆的，所以<math>\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{z}</math>是可以任意等价变换的。之所以叫Normalizing Flows，是因为它包含两个概念：
标准化流（Normalizing Flows，NF）是一类通用的方法，它通过构造一种可逆的变换，将任意的数据分布<math>p_x (\mathbf{x}) </math>变换到一个简单的基础分布<math>p_z (\mathbf{z})</math>，因为变换是可逆的，所以<math>\mathbf{x}</math>和<math>\mathbf{z}</math>是可以任意等价变换的。之所以叫Normalizing Flows，是因为它包含两个概念：
需要说明的是，因为分布间是可以相互变换的，因此对基础分布没有特定的限制，不失一般性的，可以使用标准分布（单高斯）分布作为基础分布。另外，在本文中，我们回避使用先验分布（prior distribution）来称呼这个基础分布，是因为这里的变量<math>\mathbf{z}</math>和其他场合下的隐变量不同，在标准化流模型中，一旦<math>\mathbf{x}</math>确定了,<math>\mathbf{z}</math>也随之确定下来，不存在随机性，也没有后验概率这一说法，所以不能称其为隐变量。
需要说明的是，因为分布间是可以相互变换的，因此对基础分布没有特定的限制，不失一般性的，可以使用标准分布（单高斯）分布作为基础分布。另外，在本文中，我们回避使用先验分布（prior distribution）来称呼这个基础分布，是因为这里的变量<math>\mathbf{z}</math>和其他场合下的隐变量不同，在标准化流模型中，一旦<math>\mathbf{x}</math>确定了,<math>\mathbf{z}</math>也随之确定下来，不存在随机性，也没有后验概率这一说法，所以不能称其为隐变量。
标准化流模型和NIS在某些方面具有相似性。它们都致力于使用可逆神经网络（INN）将复杂的微观状态<math>s</math>映射到更简单的宏观状态<math>S</math>，即粗粒化过程。在这种粗粒化之后，二者都试图最大化由此产生的有效信息量<math>L(s,S)</math>，从而提取出系统中重要的宏观动态特征。这种方法可以帮助理解复杂系统中的涌现现象和因果关系，在数据建模和分析中有较大应用潜力。
==数学框架：最大化EI==
==数学框架：最大化EI==
==神经网络框架==
==神经网络框架==
作为神经网络框架，NIS本质上是一个隐空间动力学学习框架。其分为编码器、动力学学习器与解码器，可以由微观状态的时间序列输入、经训练后输出如下四个部分：
*尺度M下的粗粒化策略（由可逆神经网络INN表示）；
*尺度M下的粗粒化策略（由可逆神经网络INN表示）；
在该模块中，输入向量<math>\mathbf{x}</math>被拆分成两部分并缩放、平移、再次合并，缩放和平移操作的幅度由相应的前馈神经网络调整。<math>s_1,s_2</math>是用于缩放的相同神经网络共享参数，<math>\bigotimes</math> 表示元素乘积。<math>t_1,t_2</math>是用于平移的神经网络共享参数。这样，就可以实现从x到y的可逆计算。同一模块可以重复多次以实现复杂的可逆计算。
在该模块中，输入向量<math>\mathbf{x}</math>被拆分成两部分并缩放、平移、再次合并，缩放和平移操作的幅度由相应的前馈神经网络调整。<math>s_1,s_2</math>是用于缩放的相同神经网络共享参数，<math>\bigotimes</math> 表示元素乘积。<math>t_1,t_2</math>是用于平移的神经网络共享参数。这样，就可以实现从x到y的可逆计算。同一模块可以重复多次以实现复杂的可逆计算。
== 两步优化==
==两步优化==
尽管函数已被神经网络参数化，但由于必须综合考虑目标函数和约束条件，并且超参数 <math>q</math> 会影响神经网络的结构，因此直接优化式 6 仍然具有挑战性。因此，我们提出了一种两阶段优化方法。在第一阶段，我们固定超参数 <math>q</math>，并优化预测的微观状态和观测数据的差异 <math>|\phi_q^† (\mathbf{y}(t))-\mathbf{x}_t|</math>（即式 4），以确保粗粒化策略 <math>\phi_q</math> 和宏观动力学 <math>\hat{f}_q</math> 的有效性。此外，我们搜索所有可能的 <math>q</math> 值，以找到最佳值，最大化 <math>\mathcal{I}</math>。
尽管函数已被神经网络参数化，但由于必须综合考虑目标函数和约束条件，并且超参数 <math>q</math> 会影响神经网络的结构，因此直接优化式 6 仍然具有挑战性。因此，我们提出了一种两阶段优化方法。在第一阶段，我们固定超参数 <math>q</math>，并优化预测的微观状态和观测数据的差异 <math>|\phi_q^† (\mathbf{y}(t))-\mathbf{x}_t|</math>（即式 4），以确保粗粒化策略 <math>\phi_q</math> 和宏观动力学 <math>\hat{f}_q</math> 的有效性。此外，我们搜索所有可能的 <math>q</math> 值，以找到最佳值，最大化 <math>\mathcal{I}</math>。
'''理论6：信道越窄互信息越小'''
'''信道越窄互信息越小'''
若<math>\mathbf{x}_t</math>是<math>p</math>维的，那么对于 <math>0 < q_1 < q_2 < p</math> 有
若<math>\mathbf{x}_t</math>是<math>p</math>维的，那么对于 <math>0 < q_1 < q_2 < p</math> 有
通过对整个网络进行 50,000 次状态转换的采样（每次采样包含 100 个从可能状态空间均匀随机采样的不同初始条件），将这些数据输入 NIS 模型。通过系统搜索不同的 <math>q</math> 值，发现维度平均因果涌现峰值出现在 q = 1 处（图 8a）。可视化结果显示出粗粒化策略（图 8b），其中 <math>x</math> 坐标是微观状态的十进制编码，<math>y</math> 坐标表示宏观状态的编码。数据点根据其 <math>y</math> 值可以清晰地分为四个簇，这表明 NIS 网络发现了四个离散的宏观状态。与参考文献5中的示例相似，16 个微观状态与四个宏观状态之间存在一一对应关系。然而，NIS 算法在处理此问题时并不知道任何先验信息，包括节点分组方法、粗粒化策略和动力学信息。这个示例验证了信息瓶颈理论与信道互信息之间的关系（图 8c, d）。
通过对整个网络进行 50,000 次状态转换的采样（每次采样包含 100 个从可能状态空间均匀随机采样的不同初始条件），将这些数据输入 NIS 模型。通过系统搜索不同的 <math>q</math> 值，发现维度平均因果涌现峰值出现在 q = 1 处（图 8a）。可视化结果显示出粗粒化策略（图 8b），其中 <math>x</math> 坐标是微观状态的十进制编码，<math>y</math> 坐标表示宏观状态的编码。数据点根据其 <math>y</math> 值可以清晰地分为四个簇，这表明 NIS 网络发现了四个离散的宏观状态。与参考文献5中的示例相似，16 个微观状态与四个宏观状态之间存在一一对应关系。然而，NIS 算法在处理此问题时并不知道任何先验信息，包括节点分组方法、粗粒化策略和动力学信息。这个示例验证了信息瓶颈理论与信道互信息之间的关系（图 8c, d）。
=有效信息的度量 =
=有效信息的度量=
本部分在[[有效信息]]词条的5.2节中有详细描述，为NIS框架解决的问题之一。
本部分在[[有效信息]]词条的5.2节中有详细描述，为NIS框架解决的问题之一。