更改

===  隐式过程 ===

===  隐式过程 ===

    我们限制我们在离散值，离散时间稳态随机过程。（参阅Ⅶ节 B部分关于这些假设的讨论）直观地，这些过程是一序列的随机变量Si，值是从可数集A中描述的。我们让i覆盖所有整数范围，因此得到一个双向无穷序列

    我们限制我们在离散值，离散时间稳态随机过程。（参阅Ⅶ节 B部分关于这些假设的讨论）直观地，这些过程是一序列的随机变量<math>S_i</math>，值是从可数集<math>\mathcal{A}</math>中描述的。我们让i覆盖所有整数范围，因此得到一个双向无穷序列

<math>

<math>

实际上，我们用分布的术语定义一个过程；cf. 参考文献【59】。

实际上，我们用分布的术语定义一个过程；cf. 参考文献【59】。

定义1（一个过程）让A是一个可数集。让Ω=AZ是双向无穷序列，值由A的元素组成，Ti->A是返回双向无穷序列ω属于Ω第i个元素si的函数，而F是Ω柱集的域。添加一个概率测度P给我们一个概率空间（Ω, F, P），带有附加的随机变量S<->。一个过程是一个随机变量序列Si = Ti(S<->)，i属于Z。

定义1（一个过程）让<math>\mathcal{A}</math>是一个可数集。让<math>Ω=\mathcal{A}^Z</math>是双向无穷序列，值由<math>\mathcal{A}</math>的元素组成，<math>T_i : Ω \mapsto \mathcal{A}</math>是返回双向无穷序列<math>ω \in Ω</math>第<math>i^{th}</math>个元素<math>s_i</math>的函数，而F是Ω柱集的域。添加一个概率测度P给我们一个概率空间（Ω, F, P），带有附加的随机变量<math>\overleftrightarrow{S}</math>。一个过程是一个随机变量序列<math>S_ i = T_ i(\overleftrightarrow{S}),\ i \in \mathbb{Z}</math>。

这里，自始至终地，我们遵从习惯，使用大写字母来表示随机变量，而使用小写字母来表示它们的特定取值。

这里，自始至终地，我们遵从习惯，使用大写字母来表示随机变量，而使用小写字母来表示它们的特定取值。

    从定义延展过来，有一个对有限长度序列的良好定义的概率分布。让St->L是St, St+1, ..., St+L-1以St开始的L个随机变量，St->0=λ，是空序列。同样，St <-L代表结束于St的L个随机变量的序列，但并不包含St；St <- L = S t-L ->L。St ->L和St ->L都从sL属于集合AL中获取特定值。类似地，St ->和St <-是准无限序列，他们分别从t开始和结束于t，并相应从s->和s<-获取特定值。

    从定义延展过来，有一个对有限长度序列的良好定义的概率分布。让<math>\overset{\to L}{S_ t}</math>是<math>S_ t, \ S_ {t+1}, \ \cdots, S_ {t+L-1}</math>以<math>S_ t</math>开始的L个随机变量，<math>\overset{\to 0}{S_ t} \equiv \lambda</math>，是空序列。同样，<math>\overset{\leftarrow L}{S_ t}</math>代表结束于<math>S_t</math>的L个随机变量的序列，但并不包含<math>S_t</math>；<math>\overset{\leftarrow L}{S_ t} = \overset{\to L}{S}_ {t-L}</math>。<math>\overset{\to L}{S_ t}</math>和<math>\overset{\leftarrow L}{S_ t}</math>都从<math>s_L \in \mathcal{A}^L</math>中获取特定值。类似地，<math>\overset{\to L}{S_ t}</math>和<math>\overset{\leftarrow L}{S_ t}</math>是准无限序列，他们分别从t开始和结束于t，并相应从<math>\overset{\to}{s}</math>和<math>\overset{\leftarrow }{s}</math>获取特定值。

    直观地，我们可以想象，开始于有限长度序列的分布，并逐步向两端扩展，直到达到无限长度的序列才停止。当然把这个放在意识中是有用的图景，这样来定义过程引起了一些微妙的测量理论上的问题，比如如何把有限空间分布限制在无限空间里【60，ch. 7】。为了避免这些问题，我们从无限空间分布开始。

    直观地，我们可以想象，开始于有限长度序列的分布，并逐步向两端扩展，直到达到无限长度的序列才停止。当然把这个放在意识中是有用的图景，这样来定义过程引起了一些微妙的测量理论上的问题，比如如何把有限空间分布限制在无限空间里【60，ch. 7】。为了避免这些问题，我们从无限空间分布开始。

<math>

<math>

</math>

</math>

对所有的t属于Z，L属于Z+，而且所有sL属于AL。

对所有的<math>t \in \mathbb{Z}</math>，<math>L \in \mathbb{Z}^+</math>，而且所有<math>s^L \in \mathcal{A}^L</math>。

换句话来说，一个稳态过程是随时间不变的。结果就是，P(St -> = s ->) = P(S0 -> = s ->)，并且P(St -> = s <-) = P(S0 <- = s <-)，所以我们从现在开始去掉下标。

换句话来说，一个稳态过程是随时间不变的。结果就是，<math>P(\overset{\to}{S_ t} = \overset{\to}{s}) = P(\overset{\to}{S_ 0} = \overset{\to}{s})</math>，并且<math>P(\overset{\gets}{S_ t} = \overset{\gets}{s}) = P(\overset{\gets}{S_ 0} = \overset{\gets}{s})</math>，所以我们从现在开始去掉下标。

===  水池 ===

===  水池 ===