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第99行： + − 在曼德布洛特发表的一篇描述几何分形的文章中，对于分形的描述经常被引用：“一种粗糙或破碎的几何形状，可以被分割成几个部分，且每一个部分(至少大致上)都是整体的缩小版本”; 这个定义有助于我们理解分形，但也有局限性。 作者不同意对分形进行确切定义，但经常阐述自相似的基本思想、具有反直觉性的分形以及他们所嵌入的空间。 + − 有一点是可以确定的，分形图案具有分形维数的特性。这些维数量化了复杂性(例如，随着规模的变化而改变细节) ，它们没有特别的描述和详细说明如何构建特定的分形图案。 1975年，当曼德布洛特 提出“分形”这个词时，是为了标记一个'''豪斯多夫-贝西科维奇维数 Hausdorff–Besicovitch dimension'''大于拓扑维数的对象。 然而，像希尔伯特曲线这样的空间填充曲线并不能满足这一要求。 − + − 第112行：
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→定义和相关特征
==定义和相关特征==
==定义和相关特征==
在曼德布洛特发表的一篇描述几何分形的文章中，对于分形的描述经常被引用：“一种粗糙或破碎的几何形状，可以被分割成几个部分，且每一个部分(至少大致上)都是整体的缩小版本”;<ref name="Mandelbrot1983" /> 这个定义有助于我们理解分形，但也有局限性。 作者不同意对分形进行确切定义，但经常阐述自相似的基本思想、具有反直觉性的分形以及他们所嵌入的空间。 <ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="Gouyet">{{cite book | last=Gouyet | first=Jean-François | title=Physics and fractal structures | publisher=Masson Springer | location=Paris/New York | year=1996 | isbn=978-0-387-94153-0 }}</ref><ref name="Falconer">{{Cite book | last=Falconer | first=Kenneth | title=Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications | publisher=John Wiley & Sons | year=2003 | pages=xxv | isbn= 978-0-470-84862-3 | nopp=true }}</ref><ref name="vicsek" /><ref>{{cite book | last=Edgar | first=Gerald | title=Measure, topology, and fractal geometry | publisher=Springer-Verlag | location=New York | year=2008 | isbn=978-0-387-74748-4 |page=1 }}</ref>
有一点是可以确定的，分形图案具有分形维数的特性。这些维数量化了复杂性(例如，随着规模的变化而改变细节) ，它们没有特别的描述和详细说明如何构建特定的分形图案。 <ref>{{cite book |last=Karperien |first=Audrey |title=Defining microglial morphology: Form, Function, and Fractal Dimension |publisher=Charles Sturt University |year= 2004 |doi=10.13140/2.1.2815.9048 }}</ref>1975年，当曼德布洛特 提出“分形”这个词时，是为了标记一个'''豪斯多夫-贝西科维奇维数 Hausdorff–Besicovitch dimension'''大于拓扑维数的对象。 <ref name="Mandelbrot quote" />然而，像希尔伯特曲线这样的空间填充曲线并不能满足这一要求。<ref group=notes name="space filling note" />
因为在为分形找到一个确切定义的过程中遇到了很多困难，有些人认为分形根本不应该被严格定义。 根据''' 福尔克纳 Falconer''' 的观点：分形除了处处不可微并且可以有分形维数之外，还应该具有以下可能的特征<ref name="Falconer" />：
因为在为分形找到一个确切定义的过程中遇到了很多困难，有些人认为分形根本不应该被严格定义。 根据''' 福尔克纳 Falconer''' 的观点：分形除了处处不可微并且可以有分形维数之外，还应该具有以下可能的特征：
*应该具有自相似性
*应该具有自相似性
*准自相似性：在不同尺度上拥有近似相同的形状; 可能包含扭曲和退化的完整分形的缩小副本;例如曼德勃罗集中的卫星集（也就是附属集）与整个集合是相似的，但它不是整个集合的精确副本
*准自相似性：在不同尺度上拥有近似相同的形状; 可能包含扭曲和退化的完整分形的缩小副本;例如曼德勃罗集中的卫星集（也就是附属集）与整个集合是相似的，但它不是整个集合的精确副本
*统计自相似性:随机重复一个图案，以便在不同尺度上保留其数值或统计度量;例如，对于像英国海岸线一样随机生成的分图案来说，人们无法找到像科赫雪花中分段缩放且整齐重复的单元
*统计自相似性:随机重复一个图案，以便在不同尺度上保留其数值或统计度量;例如，对于像英国海岸线一样随机生成的分图案来说，人们无法找到像科赫雪花中分段缩放且整齐重复的单元<ref name="vicsek" />
*定性自相似性: 如在时间序列中
*定性自相似性: 如在时间序列中<ref name="time series">{{cite book | last=Peters | first=Edgar | title=Chaos and order in the capital markets : a new view of cycles, prices, and market volatility | publisher=Wiley | location=New York | year=1996 | isbn=978-0-471-13938-6 }}</ref>
*多重分形缩放: 具有多个分形维数或多种缩放规则
*多重分形缩放: 具有多个分形维数或多种缩放规则
*在任意小的尺度上都能有精细的结构； 这使得分形可能具有突现的性质（与这个列表中的下一个准则相关)
*在任意小的尺度上都能有精细的结构； 这使得分形可能具有突现的性质（与这个列表中的下一个准则相关)<ref>{{cite book | first1=John |last1=Spencer |first2=Michael S. C. |last2=Thomas |first3=James L. |last3=McClelland |title=Toward a unified theory of development : connectionism and dynamic systems theory re-considered |publisher=Oxford University Press |location=Oxford/New York |year=2009 |isbn=978-0-19-530059-8 }}</ref>
*传统的欧几里德几何语言很难描述局部和全局的不规则性。 对于分形图案，可以用“光滑的堆积表面”和“漩涡中的漩涡”这来描述
*传统的欧几里德几何语言很难描述局部和全局的不规则性。 对于分形图案，可以用“光滑的堆积表面”和“漩涡中的漩涡”这来描述
*多数定义较为简单，且可能基于递归概念；（参见生成分形的常用方法)
*多数定义较为简单，且可能基于递归概念；（参见生成分形的常用方法)<ref name="Mandelbrot Chaos" />
*一般地，其“分形维数”（通常为豪斯多夫维数）会大于拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线例外）
*一般地，其“分形维数”（通常为豪斯多夫维数）会大于拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线例外）
按照这些标准，可以排除某些不确定其是不是分形的情况。比如那些可能自相似但没有其他典型的分形特征的情况。以一条直线举例，它是自相似的，但不是分形，因为它缺乏细节，而且可以用欧几里德语言进行简单描述，具有与拓扑维数相同的分形维数，并且完全不需要递归进行准确定义。
按照这些标准，可以排除某些不确定其是不是分形的情况。比如那些可能自相似但没有其他典型的分形特征的情况。以一条直线举例，它是自相似的，但不是分形，因为它缺乏细节，而且可以用欧几里德语言进行简单描述，具有与拓扑维数相同的分形维数，并且完全不需要递归进行准确定义。<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="vicsek" />
==生成分形的常用技术==
==生成分形的常用技术==