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→基于信息分解的因果涌现识别
为了简化问题且不失通用性，以有两个输入变量（X<sub>1</sub>、X<sub>2</sub>）和一个输出变量（Y）的系统为例，目标变量和联合源变量的互信息<math>I(X_1,X_2; Y) </math>可以通过部分信息分解（Partial Information Decomposition，简称PID）分解成三种信息，分别是冗余信息（Redundant information，简称Red）、独特信息（Unique information，简称Un）、协同信息（Synergistic information，简称Syn），具体公式如下：
为了简化问题且不失通用性，以有两个输入变量（X<sub>1</sub>、X<sub>2</sub>）和一个输出变量（Y）的系统为例，目标变量和联合源变量的互信息<math>I(X_1,X_2; Y) </math>可以通过部分信息分解（Partial Information Decomposition，简称PID）分解成三种信息，分别是冗余信息（Redundant information，简称Red）、独特信息（Unique information，简称Un）、协同信息（Synergistic information，简称Syn），具体公式如下：
<math>I(X_1,X_2; Y) = Red(X_1,X_2; Y) + Un(X_1; Y |X_2) + Un(X_2; Y |X_1) + Syn(X_1,X_2; Y) </math>
<math>I(X_1,X_2; Y) = Red(X_1,X_2; Y) + Un(X_1; Y |X_2) + Un(X_2; Y |X_1) + Syn(X_1,X_2; Y) </math>
<math>Syn(X_{t};X_{t+1}) ≥ Un(V_t;X_{t+1}|X_t) > 0 </math>
<math>Syn(X_{t};X_{t+1}) ≥ Un(V_t;X_{t+1}|X_t) > 0 </math>
通过互信息的相关计算公式，可以得知：
通过互信息的相关计算公式，可以得知：
<math>Un(V_t;X_{t+1}|X_t) ≥ I\left(V_t ; V_{t+1}\right)-\sum_j I\left(X_t^j ; V_{t+1}\right) + Red(V_t, V_{t+1};X_t) </math>
<math>Un(V_t;X_{t+1}|X_t) ≥ I\left(V_t ; V_{t+1}\right)-\sum_j I\left(X_t^j ; V_{t+1}\right) + Red(V_t, V_{t+1};X_t) </math>
式中，<math>X_t^j </math>表示第 j 维t时刻的微观变量。
式中，<math>X_t^j </math>表示第 j 维t时刻的微观变量。
由于<math>Red(V_t, V_{t+1};X_t) </math>为非负数，所以可以提出一个充分非必要条件<math>\Psi_{t, t+1}(V) </math>，用于测量两个时间步宏观变量的互信息减去每个t时刻微观变量和t+1时刻宏观变量的互信息。
由于<math>Red(V_t, V_{t+1};X_t) </math>为非负数，所以可以提出一个充分非必要条件<math>\Psi_{t, t+1}(V) </math>，用于测量两个时间步宏观变量的互信息减去每个t时刻微观变量和t+1时刻宏观变量的互信息。