107
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第1行：
第1行： − + − 下面将定义马尔科夫链上的动力学可逆性，并提出一个量化指标来衡量一般马尔可夫链对动力学可逆性的接近程度。+ − + 第17行：
第17行： − + − 可以证明：对于一个给定的马尔科夫链<math>+ + − + − === 近似动力学可逆性 === 第34行：
第34行： − + − − 因此，我们可以借由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数共同定义P的近似动力学可逆性： 第46行：
第44行： − + + + 第54行：
第54行： − + + + 第67行：
第69行： − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
无编辑摘要
[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]强度的新框架，该方法基于[[奇异值分解]]和近似动力学可逆性的概念，与基于[[有效信息]](EI)的因果涌现理论不同。
[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]强度的新框架，该方法基于[[奇异值分解]]和近似动力学可逆性的概念，与基于[[有效信息]](EI)的因果涌现理论不同。
==近似动力学可逆性==
==理论==
下面将定义马尔科夫链上的严格动力学可逆性，并提出了一个量化指标：近似动力学可逆性。来衡量任意马尔可夫链对严格动力学可逆性的接近程度。
===马尔科夫链动力学可逆性===
== 什么是动力学可逆性 ==
对于给定的马尔可夫链<math>
对于给定的马尔可夫链<math>
\chi
\chi
</math>的有效TPM，则<math>
</math>的有效TPM，则<math>
\chi
\chi
</math>和P 可以称为动力学可逆。
</math>和P 可以称为严格动力学可逆的。
=== 定理1 ===
对于一个给定的马尔科夫链<math>
\chi
\chi
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是[[置换矩阵]]的时候，P是动力学可逆的。
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是[[置换矩阵]]的时候，P是严格动力学可逆的。
纯粹的[[置换矩阵]]在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。
纯粹的[[置换矩阵]]在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。
</math>的第一范数应该为1）的合法TPM。2. 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。
</math>的第一范数应该为1）的合法TPM。2. 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。
一个重要的观察是：所有置换矩阵的行向量都是[[one-hot向量]]（即只有一个元素是1，其余元素均为零）。这一特性可以被矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是one-hot向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。
一个重要的观察是：所有置换矩阵的行向量都是[[one-hot向量]]（即只有一个元素是1，其余元素均为零）。这一特性可以被矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是one-hot向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以借由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数共同定义P的近似动力学可逆性。
首先，矩阵的秩可以被写作：
首先，矩阵的秩可以被写作：
其中<math>
其中<math>
\sigma_{i}
\sigma_{i}
</math>是矩阵P的第i个奇异值。紧接着，矩阵的弗罗贝尼乌斯范数可以被写作：
</math>是矩阵P的第i个奇异值。
紧接着，矩阵的弗罗贝尼乌斯范数可以被写作：
<math>
<math>
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和弗罗贝尼乌斯范数都与奇异值相联系。
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和弗罗贝尼乌斯范数都与奇异值相联系。
=== 定义矩阵P的近似动力学可逆性： ===
== 近似动力学可逆性 ==
下面定义矩阵P的近似动力学可逆性：
假设马尔科夫链的概率转移矩阵为P，奇异值为<math>
假设马尔科夫链的概率转移矩阵为P，奇异值为<math>
(\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{N}\ge0)
(\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{N}\ge0)
其中<math>
其中<math>
\alpha\in(0,2)
\alpha\in(0,2)
</math>
</math>是参数。
实际上，当<math>
\alpha\ge1
</math>时，<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>是P的沙滕范数（Schatten norm）；当<math>
0<\alpha<1
</math>时，<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>是P的准范数（quasinorm）。
使用这个定义来刻画近似动力学可逆性是合理的，因为完全动力学可逆性可以通过最大化<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>来得到。\le
=== 定理2 ===
== 决定性和简并性 ==
== 归一化及例子 ==
== <math>
\Gamma_{\alpha}
</math>和EI的联系 ==
=== 定理3 ===
=== 定理4 ===
== 一种新的因果涌现量化方法 ==