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</math>时，才会出现因果涌现。命题和证明见附录A.3.1。
</math>时，才会出现因果涌现。命题和证明见附录A.3.1。
==<math>\Gamma</math>和EI的比较==
==<math>\Gamma</math>和EI的比较==
===相似性===
在2.3节中，我们推导出Ei的上界和下界分别是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}
在2.3节中，我们推导出Ei的上界和下界分别是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>的线性项，并推测了两者的近似关系：<math>
</math>的线性项，并推测了两者的近似关系：<math>
因此，我们得出结论，EI和<math>\Gamma
因此，我们得出结论，EI和<math>\Gamma
</math>在各种TPM上高度相关。
</math>在各种TPM上高度相关。
===不同===
===不同===
尽管已经发现 EI 和<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>之间存在深层联系，但这两个指标之间仍然存在差异。
首先，EI 通过KL散度来量化每个行向量与P的平均行向量之间的差异。换句话说，EI衡量行向量之间的相似性。相反，<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>评估动态可逆性，特别是当 α 接近 0 时，这与行向量之间的线性相互依赖性相关。虽然行向量的线性相互依赖性表明它们的相似性——这意味着两个相同的行向量是线性相关的，但反之则不一定成立。因此，<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>不仅捕获了行向量之间的相似性，而且还捕获了P与动态可逆矩阵的接近度。相比之下，EI无法完成这个任务。
可以通过以下数值实验来验证这一点：我们可以通过将线性相关行向量与线性独立行向量混合来创建TPM，其中独立向量的数量或等级是受控参数。最初，我们生成r个独立的 one-hot 向量，然后使用与附录B.1中描述的相同方法软化这些行向量，软化程度由<math>
\sigma</math>确定。随后，我们通过将这些软化的 one-hot 向量与随机选择的线性系数线性组合来创建额外的行向量。然后我们量化<math>
\Gamma</math>和 EI 之间的差异，结果如图2(d) 所示。
很明显，对于较小的r值，随着<math>
\sigma</math>的增加，<math>
\log{\Gamma}
</math>和 EI 之间的差异会减小，因为 P 的线性依赖性随着向量变得更加明显而增强。这强调了线性相关性并不等于行向量之间的相似性。然而，随着独立行向量数量的增加，如果<math>
\sigma
</math>保持很小，P会收敛到置换矩阵。因此，EI 和<math>
\log{\Gamma}
</math>都达到相同的最大值。这解释了为什么当r很大时会出现轻微的颠簸。
其次，即使在所有行向量相同的情况下，EI 和<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>之间也存在显着区别，导致 EI= 0 而<math>\Gamma_{\alpha}= ||\overline{P}||^{\alpha}\cdot N^{\alpha /2}
</math>，而这是一个可以随<math>
||\overline{P}||
</math>变化的量（参见引理 4，附录 A.2）。这种差异意味着，与 EI 不同，<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>可以提供有关行向量的更全面的见解，超越其与平均行向量的相似性。
==量化因果涌现==
==量化因果涌现==
下面基于Hoel等人的论文[5, 6]中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
图3(a-i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图3(d)中的TPM直接源自图3(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图3(e)和(h)所示。(d)中的第一个例子只有4个非零奇异值(图3(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=0.75
</math>
。 因果涌现的判断与参考文献[5]相同。
图3(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图3(h) 所示。我们选择<math>
\epsilon=0.2
</math>作为阈值，这样就只剩下4个大的奇异值。因果涌现程度为<math>
\Delta\Gamma(0.2)=0.69
</math>。<math>
\epsilon
</math>值是根据图3(h)中的奇异值频谱选择的，在图3(h)中可以观察到指数为3和<math>
\epsilon=0.2
</math>时有一个明显的分界点。图 4（a-f）显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显CE例子，该模型来自参考文献[5]，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示CE。原始布尔网络模型的相应TPM如图4(c)所示。奇异值频谱如图4（d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的度数为 ∆Γ = 2.23。对 CE 的判断与 [5] 相同。参考文献 [5] 和 [6] 中有关布尔网络的更多例子可参阅附录第 E.1 节。
对因果涌现的量化可应用于复杂网络（图 3(j-l)）和细胞自动机（图 4(g-i)）。图 3（j-l）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部或内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图 3(j)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图 3(k)显示了其奇异值频谱，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math>
(\epsilon=0.3,r_{\epsilon}=5)
</math>。我们可以确定，在这个网络模型中出现了模糊的因果涌现，程度为<math>
\Delta\Gamma(0.3)=0.56
</math>。同图中还显示了两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。
如图4（g-i）所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图4(h) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图4(i)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math>
\Delta\Gamma
</math>）。我们还绘制了该自动机的原始演化作为背景。
==基于SVD分解的粗粒化策略==
==基于SVD分解的粗粒化策略==
虽然无需粗粒化也能定义和量化清晰或模糊的因果涌现现象，但需要对原始系统进行更简单的粗粒化描述，以便与 EI 得出的结果进行比较。因此，我们还提供了一种基于P的奇异值分解的简明粗粒度方法，以获得宏观层面的简化TPM。其基本思想是将 P 中的行向量 <math>
P_{i},\forall i \in [1,N]
</math>投影到<math>
P\cdot P^{T}
</math>的特征向量张成的子空间上，从而保留P的主要信息，并保持<math>
\Gamma
</math>不变。
粗粒化方法包括五个步骤：1) 对TPM进行SVD分解；2)选择一个<math>
\epsilon
</math>作为阈值来切断奇异值谱，并得到<math>r_{\epsilon}
</math>
作为保留状态的个数；3)通过计算<math>
P\cdot V_{N\times r_{\epsilon}}
</math>对P中的所有Pi进行降维，其中<math>
V_{N\times r_{\epsilon}}
</math>由<math>
P\cdot P^{T}
</math>的前<math>r_{\epsilon}
</math>特征向量构成；4) 将<math>
P\cdot V_{N\times r_{\epsilon}}
</math>中的所有行向量聚类为<math>r_{\epsilon}
</math>组，得到投影矩阵<math>
\Phi</math>；以及 5) 利用<math>
\Phi</math>和P得到新的TPM，使总静态通量保持不变。有关此方法的详细信息及其工作原理，请参阅附录 D。
我们在图 3 和图 4 所示的所有示例中测试了我们的方法。首先，对于根据图 3(d) 和 (g) 所示的相同布尔网络模型生成的两个 TPM，其粗 TPM 分别如图 3(f)和(i)所示。从TPM和投影矩阵<math>
\Phi</math>中可以读出宏观布尔网络模型（图3(c)）。值得注意的是，粗TPM中的<math>
\Gamma
</math>与原始模型中的<math>
\Gamma
</math>几乎完全相同，这说明我们的方法在这种情况下是<math>
\Gamma
</math>保守的。我们进一步测试了参考文献 [5, 6] 中的因果涌现例子，可以得到几乎相同的粗TPM。其次，如图 4(e) 所示，用相同的粗粒度方法可以得到原始TPM（图 4(a)）的缩小TPM，投影矩阵<math>
\Phi</math>如 (f) 所示。如图 4（b）所示，粗粒度布尔网络可以从简化的TPM和投影矩阵中读出。在本例中，虽然由于粗粒化过程中的信息损失，<math>
\Gamma
</math>被大大缩小了（从 <math>
\Gamma
=20.39</math>缩小到<math>
\Gamma=8.0
</math>），但归一化的近似动态可逆性却增加了（从 <math>
\gamma
=0.32</math>增加到<math>
\gamma
=1.0</math>）。同样的粗粒化方法也适用于SBM生成的复杂网络。图3(l)显示了从原始网络（图 3(j)）衍生出的 5 节点精简网络。图 3(l)显示了从原始网络（图 3(j)）得到的具有 5 个节点的缩小网络（图 3(l)）。并观察到具有相关性的<math>
\Gamma
</math>大幅下降和<math>
\gamma
</math>大幅上升。这表明在粗粒化过程中损失了大量信息，同时可以得到一个相对更有效的小型网络模型，具有更强的归一化近似动态可逆性。