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第1行： − 只要有两个个体共同演化，就会产生个体与两个人组成的整体演化规律的差异。比如空中比翼双飞的两只鸟，整体会有一套属于自己的飞行轨迹，如果单独观察一只鸟我们会发现，由于另一只鸟与之产生个体之间相互的影响，该鸟飞行的轨迹与其独立飞行，就会产生很大的差异。由于相互作用的存在，两只鸟整体的飞行轨迹亦不能简单的归因到一只鸟独立飞行的轨迹与路线。像这样，'''后一时刻的宏观态演化无法归因到前一时刻的微观态，这种现象被我们称为因果涌现。''' − − − 现实中诸多复杂系统的动力学模型都可以转化成迭代系统来表达系统的演化，比如粒子的随机游走、导热体热量的耗散以及空间中的旋转模型，虽然时间是离散的，但是其分布状态空间属于连续空间，而不是马尔科夫链或者复杂网络一样可以将状态确定在有限的状态点位上，整个迭代系统自身的因果效应也需要相关的指标来针对性的进行量化。为了解决以上问题，随机迭代系统的因果涌现作为一个精确的理论框架，可被应用于研究具有连续状态空间和高斯噪声的线性随机迭代系统中的因果涌现。该框架不仅可以给出线性线性随机迭代系统有效信息和因果涌现的解析表达式，还可以确定最佳线性粗粒化策略，当粗粒化消除的维度平均不确定性有上限时，该策略可最大限度地提高因果涌现的程度。解析表达式本身可以拓展到一般动力学的空间上，但是其因果涌现的大小和最优粗粒化策略会受到时间和迭代函数本身的影响。 − + 第23行：
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随机迭代系统的因果涌现指的是针对形如<math>
随机迭代系统的因果涌现指的是针对形如<math>
x_{t+1}=f(x_t)+\varepsilon_t, f:\mathcal{R}^n\to\mathcal{R}^n, \varepsilon_t\sim\mathcal{N}(0,\Sigma),{\rm rk}(\Sigma)=n
x_{t+1}=f(x_t)+\varepsilon_t, f:\mathcal{R}^n\to\mathcal{R}^n, \varepsilon_t\sim\mathcal{N}(0,\Sigma),{\rm rk}(\Sigma)=n
</math>的动力系统，在降维粗粒化之后，展现出的系统在宏观尺度因果特性强于微观尺度的程度的度量。在对复杂系统进行粗颗粒化后，其宏观状态的动力学可能比其微观状态的动力学表现出更明显的因果效应。这种现象被称为因果涌现，该指标通过有效信息指标来量化，若出现宏观有效信息大于微观有效信息，则意味着因果涌现的产生。这一理论一定程度上解决了Erik Hoel提出了因果出现理论面临的两个挑战：连续随机动力系统缺乏完善的框架，以及对粗粒度方法的依赖。
</math>的动力系统，在降维粗粒化之后，展现出的系统在宏观尺度因果特性强于微观尺度的程度的度量。在对复杂系统进行粗颗粒化后，其宏观状态的动力学可能比其微观状态的动力学表现出更明显的因果效应。这种现象被称为因果涌现，该指标通过有效信息指标来量化，若出现宏观有效信息大于微观有效信息，则意味着因果涌现的产生。这一理论一定程度上解决了Erik Hoel提出了因果出现理论面临的两个挑战：连续随机动力系统缺乏完善的框架，以及对粗粒度方法的依赖。
== 历史 ==
== 历史 ==
2014年至今，计算神经科学家 Erik Hoel 、伦敦帝国理工学院复杂系统中心的 Fernado E. Rosas 等人相继提出并拓展了基于信息论的因果涌现理论框架，因果涌现的定义以及度量的方法给出了定量的描述，为现实中关于生态环境、气候、城市、大脑、细胞、分子等复杂系统的演化规律研究方法提供了全新的评判指标和思路方向，而且还有望为回答关于生命、意识、自由意志等哲学问题。
2014年至今，计算神经科学家 Erik Hoel 、伦敦帝国理工学院复杂系统中心的 Fernado E. Rosas 等人相继提出并拓展了基于信息论的因果涌现理论框架，因果涌现的定义以及度量的方法给出了定量的描述，为现实中关于生态环境、气候、城市、大脑、细胞、分子等复杂系统的演化规律研究方法提供了全新的评判指标和思路方向，而且还有望为回答关于生命、意识、自由意志等哲学问题。只要有两个个体共同演化，就会产生个体与两个人组成的整体演化规律的差异。比如空中比翼双飞的两只鸟，整体会有一套属于自己的飞行轨迹，如果单独观察一只鸟我们会发现，由于另一只鸟与之产生个体之间相互的影响，该鸟飞行的轨迹与其独立飞行，就会产生很大的差异。由于相互作用的存在，两只鸟整体的飞行轨迹亦不能简单的归因到一只鸟独立飞行的轨迹与路线。像这样，'''后一时刻的宏观态演化无法归因到前一时刻的微观态，这种现象被我们称为因果涌现。'''
其中Erik Hoel提出了因果出现的最初定量理论，建立在有效信息（<math>EI\equiv I(Y;X|do(X\sim U))</math>）的基础上，原始框架仅限于量化时域和状态空间中的离散马尔可夫链。为了在连续空间中扩展因果涌现理论，Hoel又提出了因果几何理论，其中他们设计了一种计算连续状态空间上函数映射中有效信息的方法。尽管如此，该理论只探索了一般的函数映射，而忽略了多步动力学演化，使其不适用于连续状态空间中的动力学系统。同时Erik Hoel的理论还有一个共同问题就是粗粒化策略必须预先给定，而缺少优化方法。
其中Erik Hoel提出了因果出现的最初定量理论，建立在有效信息（<math>EI\equiv I(Y;X|do(X\sim U))</math>）的基础上，原始框架仅限于量化时域和状态空间中的离散马尔可夫链。为了在连续空间中扩展因果涌现理论，Hoel又提出了因果几何理论，其中他们设计了一种计算连续状态空间上函数映射中有效信息的方法。尽管如此，该理论只探索了一般的函数映射，而忽略了多步动力学演化，使其不适用于连续状态空间中的动力学系统。同时Erik Hoel的理论还有一个共同问题就是粗粒化策略必须预先给定，而缺少优化方法。
现实中诸多复杂系统的动力学模型都可以转化成迭代系统来表达系统的演化，比如经济学的商品价格、粒子的随机游走、导热体热量的耗散以及空间中的旋转模型，虽然时间是离散的，但是其分布状态空间属于连续空间，而不是马尔科夫链或者复杂网络一样可以将状态确定在有限的状态点位上，整个迭代系统自身的因果效应也需要相关的指标来针对性的进行量化。
现实中诸多复杂系统的动力学模型都可以转化成迭代系统来表达系统的演化，比如经济学的商品价格、粒子的随机游走、导热体热量的耗散以及空间中的旋转模型，虽然时间是离散的，但是其分布状态空间属于连续空间，而不是马尔科夫链或者复杂网络一样可以将状态确定在有限的状态点位上，整个迭代系统自身的因果效应也需要相关的指标来针对性的进行量化。
现实中诸多复杂系统的动力学模型都可以转化成迭代系统来表达系统的演化，比如粒子的随机游走、导热体热量的耗散以及空间中的旋转模型，虽然时间是离散的，但是其分布状态空间属于连续空间，而不是马尔科夫链或者复杂网络一样可以将状态确定在有限的状态点位上，整个迭代系统自身的因果效应也需要相关的指标来针对性的进行量化。为了解决以上问题，随机迭代系统的因果涌现作为一个精确的理论框架，可被应用于研究具有连续状态空间和高斯噪声的线性随机迭代系统中的因果涌现。该框架不仅可以给出线性线性随机迭代系统有效信息和因果涌现的解析表达式，还可以确定最佳线性粗粒化策略，当粗粒化消除的维度平均不确定性有上限时，该策略可最大限度地提高因果涌现的程度。解析表达式本身可以拓展到一般动力学的空间上，但是其因果涌现的大小和最优粗粒化策略会受到时间和迭代函数本身的影响。
=== 粗粒化策略 ===
=== 粗粒化策略 ===
== 应用案例 ==
== 应用案例 ==
[[文件:C3d90f04-1536-4e92-a438-41d1213f2f81.png|缩略图|224x224像素|随机游走相关实验结果]]
[[文件:C3d90f04-1536-4e92-a438-41d1213f2f81.png|缩略图|435x435px|随机游走相关实验结果]]
=== 随机游走 ===
=== 随机游走 ===
\kappa_i,i=1，\dots，n
\kappa_i,i=1，\dots，n
</math>的方差越大，产生因果涌现的潜在可能性就越高。
</math>的方差越大，产生因果涌现的潜在可能性就越高。
[[文件:Output.png|缩略图|270x270像素|热量耗散模型相关实验结果]]
[[文件:Output.png|缩略图|505x505px|热量耗散模型相关实验结果]]
=== 热量耗散 ===
=== 热量耗散 ===
[[文件:0300b2a3-8a32-4c57-a956-553b7fb92a6f.png|缩略图|313x313像素|旋转模型相关实验]]
[[文件:0300b2a3-8a32-4c57-a956-553b7fb92a6f.png|缩略图|566x566px|旋转模型相关实验]]
随机游走侧重于确定性和噪声，而第二种情况将侧重于非简并性和参数矩阵<math>
随机游走侧重于确定性和噪声，而第二种情况将侧重于非简并性和参数矩阵<math>
A
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