更改

\kappa_i,i=1，\dots，n

\kappa_i,i=1，\dots，n

</math>的方差越大，产生因果涌现的潜在可能性就越高。

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[[文件:C3d90f04-1536-4e92-a438-41d1213f2f81.png|缩略图|590x590px|随机游走相关实验结果|替代=|居中]]

 

[[文件:C3d90f04-1536-4e92-a438-41d1213f2f81.png|缩略图|411x411px|随机游走相关实验结果|替代=|居中]]

=== 热量耗散 ===

=== 热量耗散 ===

A

A

</math>来表示温度的变化，其中包括变化率的信息。该矩阵通常对应于正定稀疏矩阵，可用于描述系统的温度变化过程。

</math>来表示温度的变化，其中包括变化率的信息。该矩阵通常对应于正定稀疏矩阵，可用于描述系统的温度变化过程。

散热模型的实验结果显示，4个节点在不同时间点的温度微观状态数据都处于下降趋势的情况下，通过粗粒化可以将微观态数据直接映射成宏观状态数据，也可以只粗粒化起始时刻由宏状态动力学生成之后的演化数据，而两者趋势接近，可以验证宏观动力学的有效性。将宏观状态不同维度下因果涌现程度进行比较。<math>

散热模型的实验结果显示，4个节点在不同时间点的温度微观状态数据都处于下降趋势的情况下，通过粗粒化可以将微观态数据直接映射成宏观状态数据，也可以只粗粒化起始时刻由宏状态动力学生成之后的演化数据，而两者趋势接近，可以验证宏观动力学的有效性。将宏观状态不同维度下因果涌现程度进行比较。<math>

k

k

</math>越小，系统的简并性越弱，最优的因果涌现的程度会越强。我们还可以将依赖数据的因果涌现数值解，和不依赖数据的因果涌现解析解进行比较，可以发现随着样本量的增加，因果涌现的数值解逐渐接近解析解。[[文件:Output.png|缩略图|601x601px|热量耗散模型相关实验结果|替代=|居中]]

</math>越小，系统的简并性越弱，最优的因果涌现的程度会越强。我们还可以将依赖数据的因果涌现数值解，和不依赖数据的因果涌现解析解进行比较，可以发现随着样本量的增加，因果涌现的数值解逐渐接近解析解。

 

[[文件:Output.png|缩略图|436x436px|热量耗散模型相关实验结果|替代=|居中]]

=== 三维空间的旋转模型 ===

=== 三维空间的旋转模型 ===

通过实验结果可以发现，其实因果涌现的主要原因就是在空间中，系统的演化虽然处于三维空间中，但是只依托于一条一维的直线或者一个二维平面，就可以近似出系统的演化规律。如果粒子在三维空间中，围绕一条直线进行运动，并且收敛于该直线，那么直线方向的演化可以视为梯度流，而与直线垂直的平面上的演化可以视为螺线管流，简言之，就是直线上可以更清晰的观测到系统的演化方向。因此会在压缩到一维时产生较大的因果涌现。

通过实验结果可以发现，其实因果涌现的主要原因就是在空间中，系统的演化虽然处于三维空间中，但是只依托于一条一维的直线或者一个二维平面，就可以近似出系统的演化规律。如果粒子在三维空间中，围绕一条直线进行运动，并且收敛于该直线，那么直线方向的演化可以视为梯度流，而与直线垂直的平面上的演化可以视为螺线管流，简言之，就是直线上可以更清晰的观测到系统的演化方向。因此会在压缩到一维时产生较大的因果涌现。

如果系统是收敛到一个平面，那么该平面能反映系统的演化方向，这时压缩到二维，会产生最大的因果涌现。由于旋转矩阵会出现复数特征根，我们根据特征根的模长计算因果涌现，之所以不压缩到一维，是因为前两个特征值是共轭复数，模长相等，压缩到一维不会增强因果涌现，反而会使误差变得更大。[[文件:0300b2a3-8a32-4c57-a956-553b7fb92a6f.png|缩略图|722x722px|旋转模型相关实验|替代=|居中]]旋转模型为因果涌现的意义提供了最直观且可视化的理解方式，也为拓展到高维空间的变量与数据提供了入门的基础。

如果系统是收敛到一个平面，那么该平面能反映系统的演化方向，这时压缩到二维，会产生最大的因果涌现。由于旋转矩阵会出现复数特征根，我们根据特征根的模长计算因果涌现，之所以不压缩到一维，是因为前两个特征值是共轭复数，模长相等，压缩到一维不会增强因果涌现，反而会使误差变得更大。[[文件:0300b2a3-8a32-4c57-a956-553b7fb92a6f.png|缩略图|431x431px|旋转模型相关实验|替代=|居中]]旋转模型为因果涌现的意义提供了最直观且可视化的理解方式，也为拓展到高维空间的变量与数据提供了入门的基础。