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第428行：
第428行： − 在实践中，NIS+的训练过程分为两个阶段。+ − + − 第二阶段，只训练反向神经网络，本质上是用于训练<math>+ + + − 首先，在处理高维复杂系统时，一次丢弃多个维度会给训练神经网络带来很大的挑战。我们可以将一系列基本编码器堆叠（串联）在一起并逐渐丢弃维度，降低训练难度。+ − 此外，一些大规模复杂系统具有先验知识，我们可以根据先验知识对微观维度进行分组，分组之后，对每一组都用编码器进行编码，相当于把编码器进行了并联。并行编码器之间共享参数，故神经网络依然可以高效、准确地获得粗粒化规则。最后，将从所有编码器获得的宏观变量连接成一个向量，以导出总体的宏观变量。这种并行结构也可以与卷积神经网络等架构结合起来。+ − 为了提高搜索最优尺度的效率，我们可以利用堆叠编码器获得隐藏空间的多个尺度，同时训练多个不同尺度的动力学学习器（相当于搜索不同q的宏观动力学），从而避免重新训练编码器，提高模型效率。+
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前向动力学是最小化预测误差<math>\left\|\phi_q^{\dagger}(Y(t+1))-X_{t+1}\right\| </math>，保证动力学的确定性，但是由于EI不仅与确定性有关，还与简并性有关，我们需要一个与动力学简并性相关的指标。因此，学者在NIS的框架基础之上，加入了反向动力学，用以反向预测，即输入<math>y_{t+1}</math>，通过动力学学习器<math>g</math>之后，得到宏观量的反向预测值<math>\hat{y}_{t}</math>，使<math>y_{t+1}</math>和<math>\hat{y}_{t}</math>之间的损失值减少。通过训练反向动力学学习器<math>g</math>，影响编码器，进而影响EI值，使得此框架可以学到一个简并性低的动力学。
前向动力学是最小化预测误差<math>\left\|\phi_q^{\dagger}(Y(t+1))-X_{t+1}\right\| </math>，保证动力学的确定性，但是由于EI不仅与确定性有关，还与简并性有关，我们需要一个与动力学简并性相关的指标。因此，学者在NIS的框架基础之上，加入了反向动力学，用以反向预测，即输入<math>y_{t+1}</math>，通过动力学学习器<math>g</math>之后，得到宏观量的反向预测值<math>\hat{y}_{t}</math>，使<math>y_{t+1}</math>和<math>\hat{y}_{t}</math>之间的损失值减少。通过训练反向动力学学习器<math>g</math>，影响编码器，进而影响EI值，使得此框架可以学到一个简并性低的动力学。
=== 分阶段训练 ===
=== 分阶段训练 ===
在实践中，为了减轻机器学习的压力，可以先让模型学到比较靠谱的编码策略，然后通过反向动力学将编码策略调整至最优解。NIS+的训练过程分为两个阶段。
第一阶段：只训练前向神经网络，最小化预测误差<math>\left\|\phi_q^{\dagger}(Y(t+1))-X_{t+1}\right\| </math>。
第一阶段：只训练前向神经网络，最小化预测误差<math>w(\boldsymbol{x}_t)\parallel\boldsymbol{y}_t-g(\boldsymbol{y}_{t+1})\parallel </math>。
第二阶段，只训练反向神经网络，最小化预测误差<math>\parallel\hat{x}_{t+1}-\boldsymbol{x}_{t+1}\parallel </math>，本质上是用于训练<math>
\phi_{ω}
\phi_{ω}
</math>。
</math>。
在整个模型的训练过程中，总的目标（式{{EquationNote|3}}）是最小化第一阶段的误差和第二阶段误差的拉格朗日函数，在不同的实验中，<math>λ </math>取不同的值。
=== 面对大规模复杂系统的拓展 ===
=== 面对大规模复杂系统的拓展 ===
在实际应用中，如果系统不是小规模系统，而是类似[[元胞自动机 Cellular Automata|元胞自动机]]的大规模的复杂系统，我们需要对此框架进行拓展，将编码器（解码器）进行组合，从而减轻模型训练的压力和难度。
在实际应用中，如果系统不是小规模系统，而是类似[[元胞自动机 Cellular Automata|元胞自动机]]的大规模的复杂系统，我们需要对此框架进行拓展，将编码器（解码器）进行组合，从而减轻模型训练的压力和难度。
[[文件:StackParallel.png|右|无框|600x600px|1|替代=]]
[[文件:StackParallel.png|右|无框|600x600px|1|替代=]]
首先，在处理高维复杂系统时，一次丢弃多个维度会给训练神经网络带来很大的挑战。我们可以将一系列基本编码器堆叠（串联）在一起并逐渐丢弃维度，降低训练难度。如右图a所示。
此外，一些大规模复杂系统具有先验知识，我们可以根据先验知识对微观维度进行分组，分组之后，对每一组都用编码器进行编码，相当于把编码器进行了并联。并行编码器之间共享参数，故神经网络依然可以高效、准确地获得粗粒化规则。最后，将从所有编码器获得的宏观变量连接成一个向量，以导出总体的宏观变量。这种并行结构也可以与卷积神经网络等架构结合起来。如右图b所示。
为了提高搜索最优尺度的效率，我们可以利用堆叠编码器获得隐藏空间的多个尺度，同时训练多个不同尺度的动力学学习器（相当于搜索不同q的宏观动力学），从而避免重新训练编码器，提高模型效率。如右图c所示。
将NIS+的编码器替换为堆叠编码器与并行编码器的任意组合时，式{{EquationNote|3}}的最优化函数依然适用（引理5、引理6）。
将NIS+的编码器替换为堆叠编码器与并行编码器的任意组合时，式{{EquationNote|3}}的最优化函数依然适用（引理5、引理6）。