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==定义动力学可逆性==
==定义动力学可逆性==
对于给定的马尔可夫链<math>
对于给定的马尔可夫链<math>
\chi
\chi\begin{equation}
E = mc^2 \tag{1}
\end{equation}
</math>和对应的转移概率矩阵(TPM) P ，如果P同时满足：1. P是可逆矩阵，即存在矩阵<math>
</math>和对应的转移概率矩阵(TPM) P ，如果P同时满足：1. P是可逆矩阵，即存在矩阵<math>
P^{-1}
P^{-1}
<math>
<math>
r=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{0}
r=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{0} \tag{1}
</math>
</math>
<math>
<math>
{||P||}_{F}^{2}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{2}
{||P||}_{F}^{2}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{2}\tag{2}
</math>
</math>
<math>
<math>
\Gamma_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}
\Gamma_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}\tag{3}
</math>
</math>
\gamma
\gamma
</math>大幅上升。这表明在粗粒化过程中损失了大量信息，同时可以得到一个相对更有效的小型网络模型，具有更强的归一化近似动态可逆性。
</math>大幅上升。这表明在粗粒化过程中损失了大量信息，同时可以得到一个相对更有效的小型网络模型，具有更强的归一化近似动态可逆性。
==附录==
引理1：对于一个概率转移矩阵TPM <math>P=(P_{1}，P_{2}，...,P_{N})^{T}</math>，其中<math>P_{i}</math>是第i个行向量，那么：
<math>
P_{i}\cdot P_{j}\le 1, \forall i,j\in [1,N]
</math>
证明: 由于Pi是概率分布，因此它应满足归一化条件，可表示为：
<math>
|P_{i}|_{1}=\sum_{j=1}^{N} p_{ij}=1
</math>
其中<math>
|\cdot|_{1}
</math>是矢量的一阶范数，它被定义为所有元素的绝对值的总和。因此：
<math>
P_{i}\cdot P_{j}=|P_{i}\cdot P_{j}|_{1}\le \cdot |P_{i}|_{1}\cdot |P_{j}|_{1}=1
</math>
引理2：对于TPM P，我们可以用如下形式书写：
<math>P=(P_{1},P_{2},...,P_{N})^{T}
</math>
其中Pi是第i个行向量。然后假设P的奇异值为<math>
(\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{N}\ge0)
</math>，那么，若：<math>
P_{i}\cdot P_{i}=1, \forall i\in [1,N],
</math>
那么P的所有奇异值满足：
<math>
\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{r}\ge 1
</math>
以及
<math>
\sigma_{r+1}=\sigma_{r+2}=...=\sigma_{N}=0
</math>
其中r是矩阵P的秩。
证明:
如果<math>
P_{i}\cdot P_{i}=1
</math>，则<math>
\sum_{j} p^{2}_{ij}=1
</math>，这意味着Pi是模为1的单位向量。而对于所有i<math>
|P_{i}|_{1}=\sum_{j=1}^{N} p_{ij}=1
</math>，因此Pi必须为独热向量。因此，P存在两种情况：1.存在<math>1≤i,j≤ N</math>，使得<math>Pi=Pj</math>；2.对于任意<math>1≤ i,j≤ N，Pi\neq Pj</math>。
情况一：若<math>P_{i}=P_{j}</math>且因为它们都为独热向量，所以<math>
P_{i}\cdot P_{j}=1
</math>以及<math>
P_{j}\cdot P_{i}=1
</math>（出于内积的对称性）。因此，第i行第j列的元素和第j行第i列的元素均为1，其他均为0。注意到，根据条件，<math>
P_{i}\cdot P_{i}=1
</math>同时成立，因此<math>
P\cdot P^{T}=1
</math>的矩阵具有以下形式：
<math>
P\cdot P^{T}=\begin{matrix}
\\ \\i\\ \\j\\
\end{matrix}\begin{pmatrix}
1 & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\
\cdots & \ddots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\
\cdots &\cdots &1 &\cdots &1 &\cdots\\
\cdots &\cdots &\cdots &\ddots &\cdots &\cdots \\
\cdots &\cdots &1 &\cdots &1&\cdots\\
\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots
\end{pmatrix},
</math>
其中，除了对角线元素和i、j和j、i处的元素外，所有元素均为0。从公式 A37 中，我们知道第 i 行与第 j 行相同。因此，P P T 的最小特征值（也是 P 的最后一个奇异值）必须为 0。如果有多个（例如 N − r）对 (i, j) 且 i ̸= j 满足 Pi · Pj = 1，那么最后 N − r 个奇异值全为零。 P的秩为r。所以：
==参考文献==
==参考文献==
<references />
<references />