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基于可逆性的因果涌现理论的核心概念是近似动力学可逆性：
基于可逆性的因果涌现理论的核心概念是近似动力学可逆性：
<math>\begin{align}
<math>\begin{aligned}
\Gamma_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}\tag{3}\end{align}
\Gamma_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}\tag{3}\end{aligned}
</math>
</math>
<math>
<math>
\begin{align}
\begin{aligned}
r=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{0}\tag{1}
r=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{0}
\end{align}
\end{aligned}
</math>
</math>
紧接着，矩阵的弗罗贝尼乌斯范数可以被写作：
紧接着，矩阵的弗罗贝尼乌斯范数可以被写作：
<math>\begin{align}
<math>\begin{aligned}
{||P||}_{F}^{2}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{2}\tag{2}
{||P||}_{F}^{2}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{2}
\end{align}
\end{aligned}
</math>
</math>
</math>阶近似动力学可逆性定义为：
</math>阶近似动力学可逆性定义为：
<math>\begin{align}
<math>\begin{aligned}
\Gamma_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}\tag{3}\end{align}
\Gamma_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}\end{aligned}
</math>
</math>
</math>受矩阵的大小影响，所以我们需要进行归一化，从而刻画与大小无关的近似动力学可逆性，这样可以更方便地在不同大小的马尔科夫链之间进行比较：
</math>受矩阵的大小影响，所以我们需要进行归一化，从而刻画与大小无关的近似动力学可逆性，这样可以更方便地在不同大小的马尔科夫链之间进行比较：
<math>\begin{align}
<math>\begin{aligned}
\gamma_{\alpha}=\frac{\Gamma_{\alpha}}{N}\end{align}
\gamma_{\alpha}=\frac{\Gamma_{\alpha}}{N}\end{aligned}
</math>
</math>
<math>
<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}\le{EI}\le\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}</math>
\begin{aligned}
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}\le{EI}\le\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}
\end{aligned}
</math>
实际上，EI有一个更严格的上限，<math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}</math>,这个上限是由数值实验的结果确定的。我们发现在许多例子中，EI和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>,因此，基于可逆性的因果涌现理论主张：
实际上，EI有一个更严格的上限，<math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}</math>,这个上限是由数值实验的结果确定的。我们发现在许多例子中，EI和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>,因此，基于可逆性的因果涌现理论主张：
<math>
<math>\begin{aligned}
EI\sim\log\Gamma_{\alpha}.
EI\sim\log\Gamma_{\alpha}.
\end{aligned}
</math>
</math>
==清晰因果涌现==
==清晰因果涌现==
</math>，如果<math>r≡rank(P)<N</math>，则该系统中会出现明显的因果涌现。且因果涌现的程度为：
</math>，如果<math>r≡rank(P)<N</math>，则该系统中会出现明显的因果涌现。且因果涌现的程度为：
<math>
<math>\begin{aligned}
\Delta\Gamma_{\alpha}=\Gamma_{\alpha}\cdot(\frac{1}{r}-\frac{1}{N})
\Delta\Gamma_{\alpha}=\Gamma_{\alpha}\cdot(\frac{1}{r}-\frac{1}{N})
\end{aligned}
</math>
</math>
==模糊因果涌现==
==模糊因果涌现==
</math>。而因果涌现的程度为：
</math>。而因果涌现的程度为：
<math>
<math>\begin{aligned}
\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)=\frac{\sum_{i=1}^{r_{\epsilon}}\sigma_{i}^{\alpha}}{r_{\epsilon}}-\frac{\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}}{N},
\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)=\frac{\sum_{i=1}^{r_{\epsilon}}\sigma_{i}^{\alpha}}{r_{\epsilon}}-\frac{\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}}{N},
\end{aligned}
</math>
</math>