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<blockquote><math>\begin{aligned}
<blockquote><math>\begin{aligned}
\Gamma_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}\end{aligned}
\Gamma_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}\end{aligned}
</math>
</math></blockquote>
其中<math>
其中<math>
首先，矩阵的秩可以被写作：
首先，矩阵的秩可以被写作：
<blockquote>
<math>
<math>
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
</blockquote>
其中<math>
其中<math>
\sigma_{i}
\sigma_{i}
紧接着，矩阵的弗罗贝尼乌斯范数可以被写作：
紧接着，矩阵的弗罗贝尼乌斯范数可以被写作：
<blockquote>
<math>\begin{aligned}
<math>\begin{aligned}
{||P||}_{F}^{2}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{2}
{||P||}_{F}^{2}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{2}
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
</blockquote>
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和弗罗贝尼乌斯范数都与奇异值相联系。
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和弗罗贝尼乌斯范数都与奇异值相联系。
\alpha
\alpha
</math>阶近似动力学可逆性定义为：
</math>阶近似动力学可逆性定义为：
<blockquote>
<math>\begin{aligned}
<math>\begin{aligned}
\Gamma_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}\end{aligned}
\Gamma_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}\end{aligned}
</math>
</math>
</blockquote>
其中<math>
其中<math>
\alpha\in(0,2)
\alpha\in(0,2)
\Gamma_{\alpha=1}
\Gamma_{\alpha=1}
</math>受矩阵的大小影响，所以我们需要进行归一化，从而刻画与大小无关的近似动力学可逆性，这样可以更方便地在不同大小的马尔科夫链之间进行比较：
</math>受矩阵的大小影响，所以我们需要进行归一化，从而刻画与大小无关的近似动力学可逆性，这样可以更方便地在不同大小的马尔科夫链之间进行比较：
<blockquote>
<math>\begin{aligned}
<math>\begin{aligned}
\gamma_{\alpha}=\frac{\Gamma_{\alpha}}{N}\end{aligned}
\gamma_{\alpha}=\frac{\Gamma_{\alpha}}{N}\end{aligned}
</math>
</math>
</blockquote>
容易证明，<math>
容易证明，<math>
\gamma_{\alpha}
\gamma_{\alpha}
因此，我们有如下不等式：
因此，我们有如下不等式：
<blockquote>
<math>
<math>
\begin{aligned}
\begin{aligned}
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}\le{EI}\le\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}\le{EI}\le\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math></blockquote>
实际上，EI有一个更严格的上限，<math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}</math>,这个上限是由数值实验的结果确定的。我们发现在许多例子中，EI和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>,因此，基于可逆性的因果涌现理论主张：
实际上，EI有一个更严格的上限，<math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}</math>,这个上限是由数值实验的结果确定的。我们发现在许多例子中，EI和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>,因此，基于可逆性的因果涌现理论主张：
\epsilon
\epsilon
</math>。而因果涌现的程度为：
</math>。而因果涌现的程度为：
<blockquote>
<math>\begin{aligned}
<math>\begin{aligned}
\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)=\frac{\sum_{i=1}^{r_{\epsilon}}\sigma_{i}^{\alpha}}{r_{\epsilon}}-\frac{\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}}{N},
\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)=\frac{\sum_{i=1}^{r_{\epsilon}}\sigma_{i}^{\alpha}}{r_{\epsilon}}-\frac{\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}}{N},
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
</blockquote>
其中<math>
其中<math>
r_{\epsilon}=max\{ i| \sigma_{i} > \epsilon\}
r_{\epsilon}=max\{ i| \sigma_{i} > \epsilon\}
==相似性==
==相似性==
根据前文，EI的上界和下界分别是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>的线性项。由此还可以推测两者具有近似关系：<math>
</math>的线性项。由此还可以推测两者具有近似关系：<math>
EI\sim\log{\Gamma_{\alpha}}
EI\sim\log{\Gamma_{\alpha}}