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第55行：
第55行： − + 第64行：
第64行： − + + − 直观上来说，当马尔科夫矩阵存在block结构，或者状态明显可被分成几种partition的时候，该矩阵就会lumpable，如图一中的<math>\bar{P}</math>所示。+ + + + + + 第93行：
第99行： − 回顾一下Kmeans算法把n个点聚成r类的损失函数,其中第<math>i</math>个点被归到第<math>c^i</math>类，而<math>\mu_j</math>为第<math>j</math>类点的中心点：+ − 所以，我们就可以通过上述算法或者kMeans来获取最优partition，然后根据这个partition来判断马尔科夫矩阵的lumpability。（注：文章中并没有提到可以用KMeans来实现这个算法，但笔者认为它们是等价的）+ − −
→Lumpability
<math>
<math>
Pr_{\pi}[f_n \in A_t |f_{n-1} \in A_s f_1 \in A_j f_0 \in A_i]
Pr_{\pi}[f_n \in A_t |f_{n-1} \in A_s, f_1 \in A_j, f_0 \in A_i]
</math>
</math>
[[文件:Lump fig1.png|缩略图|398x398像素|图1：Zhang<ref name=":0" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是lumpable马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0]]
[[文件:Lump fig1.png|缩略图|398x398像素|图1：Zhang<ref name=":0" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是lumpable马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0]]
对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{kA_j}</math>都是一样的。
对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{kA_j}</math>都是一样的。
也就是说<math>p_{k A_j} = \sum_{s_m \in A_j} p_{k m} = p_{A_i A_j} = p_{k A_j}, k \in A_i</math>
也就是说<math>p_{s_k A_j} = \sum_{s_m \in A_j} p_{s_k s_m} = p_{A_i A_j}, k \in A_i</math>。
这个公式表达的是，群组<math>A_i</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率 = 群组<math>A_i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率 = 群组<math>i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>中的状态的转移概率的和。
由此公式我们能获得一个直观上的说法：当马尔科夫矩阵存在block结构，或者状态明显可被分成几种partition的时候，该矩阵就会lumpable，如图一中的<math>\bar{P}</math>所示。
但是，有时候有些lumpable的矩阵的状态排序被打乱了（如图一中的<math>P_1</math>），或者矩阵包含了如<math>P_2</math>的噪声（如图一中的<math>P</math>，<math>P = P_1 + P_2, P_1^TP_2 = 0</math>）。
但是，有时候有些lumpable的矩阵的状态排序被打乱了（如图一中的<math>P_1</math>），或者矩阵包含了如<math>P_2</math>的噪声（如图一中的<math>P</math>，<math>P = P_1 + P_2, P_1^TP_2 = 0</math>）。
===针对Lumpability的粗粒化方法===
我们在实际问题中很多时候要面对的是像<math>P</math>这样的矩阵，我们既无法确定它是否lumpable，也无法决定它的partition，我们甚至不知道它的马尔科夫秩。
我们在实际问题中很多时候要面对的是像<math>P</math>这样的矩阵，我们既无法确定它是否lumpable，也无法决定它的partition，我们甚至不知道它的马尔科夫秩。
这个看起来非常眼熟，其实它就是在做kMeans聚类算法。让<math>v_s</math>和组里的<math>V[i:r]</math>距离最小的方法，就是让<math>v_s</math>成为<math>V[i:r]</math>这若干个点的中心。
这个看起来非常眼熟，其实它就是在做kMeans聚类算法。让<math>v_s</math>和组里的<math>V[i:r]</math>距离最小的方法，就是让<math>v_s</math>成为<math>V[i:r]</math>这若干个点的中心。
回顾一下kMeans算法把n个点聚成r类的目标函数，其中第<math>i</math>个点被归到第<math>c^i</math>类，而<math>\mu_j</math>为第<math>j</math>类点的中心点：
<math>J(c^1, ... , c^n, \mu_1, ... , \mu_r) = \sum_{i=1}^n || x_i - \mu_{c^i} ||^2 </math>
<math>J(c^1, ... , c^n, \mu_1, ... , \mu_r) = \sum_{i=1}^n || x_i - \mu_{c^i} ||^2 </math>
我们看到这两个目标函数是非常相似的。所以，我们就可以通过上述算法或者kMeans来获取最优partition，然后根据这个partition来判断马尔科夫矩阵的lumpability。（注：文章中并没有提到可以用KMeans来实现这个算法，但笔者认为它们是等价的）
=因果涌现=
=因果涌现=