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第6行： − Erik Hoel的因果涌现理论存在着需要指定粗粒化策略的问题，Rosas的信息分解理论并没有完全解决，因此，[[张江]]等人进一步提出了<ref name=":2">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>基于奇异值分解和动力学近似可逆性的因果涌现理论。+ − − 给定一个系统的马尔科夫转移矩阵<math>P</math>，我们可以对它进行奇异值分解，得到两个正交且归一化矩阵<math>U</math>和<math>V</math>，和一个对角阵<math>\Sigma</math>：<math>P= U\Sigma V^T</math>，其中[math]\Sigma=diag(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_N)[/math]，其中[math]\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\sigma_N[/math]为<math>P</math>的奇异值，并且按照从大到小的顺序排列，<math>N</math>为<math>P</math>的状态数量。 − − 我们可以将奇异值的<math>\alpha</math>次方之和定义为马尔科夫动力学的近似可逆性度量，即： − − − − − 这里，[math]\alpha\in(0,2)[/math]为一个指定的参数，它起到让[math]\Gamma_{\alpha}[/math]能够更多地反映[[确定性]]还是[[简并性]]这样一种权重或倾向性。通常情况下，我们取[math]\alpha=1[/math]，这可以让[math]\Gamma_{\alpha}[/math]能够在确定性与简并性之间达到一种平衡。 − − 此外，文献中作者证明了<math>EI</math>与[math]\Gamma_{\alpha}[/math]之间存在着一种近似的关系： − − <math> − EI\sim \log\Gamma_{\alpha} − </math> − − 而且，在一定程度上可以用[math]\Gamma_{\alpha}[/math]替代EI对马尔科夫链的因果效应程度进行度量。 − − 如果<math>P</math>的秩为<math>r</math>，即从第<math>r+1</math>个奇异值开始，奇异值都为0，则我们称动力学<math>P</math>存在着'''清晰因果涌现'''（Clear Causal Emergence），并且因果涌现的数值为：<math> − \Delta \Gamma_{\alpha} = \Gamma_{\alpha}(1/r-1/N) − </math> − − 如果矩阵<math>P</math>满秩，但是对于任意给定的小数<math>\epsilon</math>，存在<math>r_{\epsilon}</math>，使得从<math>r_{\epsilon}+1</math>开始，所有的奇异值都小于<math>\epsilon</math>，则称系统存在着程度的'''模糊因果涌现'''（Vague Causal Emergence），且因果涌现的数值为：<math>\Delta \Gamma_{\alpha}(\epsilon) = \frac{\sum_{i=1}^{r} \sigma_{i}^{\alpha}}{r} - \frac{\sum_{i=1}^{N} \sigma_{i}^{\alpha}}{N} </math> − − 总结来看，该定量化因果涌现的方法的好处在于，它可以不依赖于具体的粗粒化策略，因而可以更加客观地量化因果涌现。该方法的缺点是，若要计算[math]\Gamma_{\alpha}[/math]，需要事先对P进行[[SVD分解]]，因而计算复杂度为[math]O(N^3)[/math]，因而比<math>EI</math>的计算复杂度高。而且，[math]\Gamma_{\alpha}[/math]不能显式地分解为确定度和简并度两个分量。 − [[文件:图x.png|居中|有框|图1]] − − − 文中作者通过实例对比了状态转移矩阵的<math>EI</math>和<math>\Gamma_{1}</math>。对比图1a，b，我们发现对于不同的状态转移矩阵，<math>EI</math>降低的时候，<math>\Gamma_1</math>也同步降低。进一步，图c和d是对比粗粒化前后的效果，其中图d是对图c状态转移矩阵的粗粒化（将前三个状态归并为一个宏观态）。由于宏观状态转移矩阵图d是一个[[确定性系统]]，因此，归一化后的<math>EI</math>，<math>eff\equiv EI/\log N</math>和归一化后的[math]\Gamma_1[/math]：<math>\gamma_1\equiv \Gamma_1/N</math>都达到了最大值1。
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=简介=
=简介=
2024年，[[张江]]等人<ref name=":22">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>基于[[奇异值分解]]，提出了一套新的因果涌现理论。该理论的核心思想是指出所谓的因果涌现其实等价于动力学可逆性的涌现。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行奇异值分解，将奇异值的<math>\alpha</math>次方的和定义为马尔科夫动力学的[[可逆性]]度量（<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}</math>），这里[math]\sigma_i[/math]为奇异值。该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，也可以用于刻画动力学的因果效应强度。根据奇异值的谱，该方法可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰涌现'''（clear emergence）和'''模糊涌现'''（vague emergence）的概念。
<math>
\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}
</math>
=基本概念=
=基本概念=