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下图(a)-(i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于清晰因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图(d)中的TPM直接源自图(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图(e)和(h)所示。(d)中的例子只有4个非零奇异值(图(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>
下图(a)-(i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于清晰因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图(d)中的TPM直接源自图(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图(e)和(h)所示。(d)中的例子只有4个非零奇异值(图(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=0.75
\Delta\Gamma=0.75
</math>。 因果涌现的判断与参考文献<ref name="Hoel2013" />相同。
</math>。 因果涌现的判断与参考文献<ref name="Hoel2013" />相同。(f) 和 (i) 分别是对 (d) 和 (g) 中的原始 TPM 应用粗粒化方法后缩减的TPM和投影矩阵。
图(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图(h) 所示。我们选择<math>
图(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图(h) 所示。我们选择<math>
下图显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显因果涌现例子，该模型来自参考文献<ref name="Hoel2013" />，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示因果涌现。原始布尔网络模型的相应TPM如图(c)所示。奇异值频谱如图(d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的程度为<math>
下图显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显因果涌现例子，该模型来自参考文献<ref name="Hoel2013" />，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示因果涌现。原始布尔网络模型的相应TPM如图(c)所示。奇异值频谱如图(d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=2.23
\Delta\Gamma=2.23
</math>。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。
</math>。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。(e) 是对(c)的粗粒化。(f) 是根据基于 SVD 的粗粒化方法得到的从微观状态到宏观状态的投影矩阵。
[[文件:截屏2024-08-31_20.54.36.png|替代=|702x702像素]]
[[文件:截屏2024-08-31_20.54.36.png|替代=|702x702像素]]
==复杂网络==
==复杂网络==
对因果涌现的量化可应用于复杂网络，如下图所示。图（a)-(c）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部或内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图(a)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图(b)显示了其奇异值频谱，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math>
对因果涌现的量化可应用于复杂网络，如下图所示。图（a)-(c）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图(a)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图(b)显示了其奇异值频谱，同图中还显示了另外两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。图(c) 是利用基于SVD的粗粒化方法进行缩减后的 (a) 网络。图(b)中，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math>
(\epsilon=0.3,r_{\epsilon}=5)
(\epsilon=0.3,r_{\epsilon}=5)
</math>。可以确定，在这个网络模型中出现了模糊的因果涌现，程度为<math>
</math>。可以确定，在这个网络模型中出现了模糊的因果涌现，程度为<math>
\Delta\Gamma(0.3)=0.56
\Delta\Gamma(0.3)=0.56
</math>。同图中还显示了两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。
</math>。
[[文件:截屏2024-08-31_21.01.3211.png|替代=|931x931像素]]
[[文件:截屏2024-08-31_21.01.3211.png|替代=|931x931像素]]