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小第225行：
第225行： − 这些定义与任何粗粒化方法无关。因此，它代表了马尔可夫动力学的内在客观属性。因此，清晰和模糊因果涌现的程度都可以客观地量化。+ 第249行：
第249行： − + − 根据前文，EI的上界和下界分别是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}+ − </math>的线性项。由此还可以推测两者具有近似关系：<math> − EI\sim\log{\Gamma_{\alpha}} − </math>。下面通过数值模拟说明这一点。 − − 如下图所示，在由三种不同方法生成的各种归一化的TPM 上比较了<math> − \log{\Gamma_{\alpha}} − </math>和 EI：1）软化置换矩阵；2）软化退化矩阵；3）完全随机矩阵。生成这些矩阵的方法如下： − + − + + 第270行：
第264行： + + + + + + + + + + + 第283行：
第288行： − −
无编辑摘要
</math>
</math>
这些定义与任何粗粒化方法无关，它代表了马尔可夫动力学的内在客观属性。因此，清晰和模糊因果涌现的程度都可以客观地量化。
当<math>
当<math>
=与有效信息（EI）的比较=
=与有效信息（EI）的比较=
==相似性==
== 方法 ==
首先使用三种不同方法生成归一化的TPM：1）软化置换矩阵；2）软化退化矩阵；3）完全随机矩阵。具体方法如下：
===软化置换矩阵===
===软化置换矩阵===
1）随机生成一个N阶置换矩阵P;
1）随机生成一个N阶置换矩阵P;
2）对于P中的每个行向量<math>P_{i}</math>，假设1元素的位置是<math>j_{1}</math>，我们将<math>P_{i}</math>的所有条目填入位于<math>j_{1}</math>处的高斯分布中心的概率，即<math>P'_{i,j} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left( -\frac{(j - j_i)^2}{\sigma^2} \right)</math>
，其中，<math>\sigma</math>是软化程度的自由参数;
2）对于P中的每个行向量<math>P_{i}</math>，假设1元素的位置是<math>j_{1}</math>，我们将<math>P_{i}</math>的所有条目填入位于<math>j_{1}</math>处的高斯分布中心的概率，即<math>P'_{i,j} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left( -\frac{(j - j_i)^2}{\sigma^2} \right)</math>，其中，<math>\sigma</math>是软化程度的自由参数;
3)将<math>\sum_{j=1}^{N} P'_{ij} = 1
3)将<math>\sum_{j=1}^{N} P'_{ij} = 1
</math>除以新的行向量，使其归一化，这样修改后的矩阵<math>P'</math>也是一个TPM。
</math>除以新的行向量，使其归一化，这样修改后的矩阵<math>P'</math>也是一个TPM。
===完全随机矩阵===
===完全随机矩阵===
1) 从[0, 1]上的均匀分布中抽取一个行随机向量；
1) 从[0, 1]上的均匀分布中抽取一个行随机向量；
2) 对该行向量进行归一化处理，使生成的矩阵是一个TPM。
2) 对该行向量进行归一化处理，使生成的矩阵是一个TPM。
==相似性==
根据前文，EI的上界和下界分别是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>的线性项。由此还可以推测两者具有近似关系：<math>
EI\sim\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>。下面通过数值模拟说明这一点。
如下图所示，在由三种不同方法生成的各种归一化的TPM 上比较了<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>和 EI：
图(a)、(b)和(c)表明，在这些例子中都观察到了正相关性，并且在N ≫ 1 时，<math>
图(a)、(b)和(c)表明，在这些例子中都观察到了正相关性，并且在N ≫ 1 时，<math>
[[文件:20240101.png|替代=|1029x1029像素]]
[[文件:20240101.png|替代=|1029x1029像素]]
文献中作者还在大小为N=2 的最简单参数化TPM中得到了EI和<math>
文献中作者还在大小为N=2 的最简单参数化TPM中得到了EI和<math>