更改

考虑P的秩r，当且仅当r<N（N为矩阵的维数）的时候，P是不可逆的；且P越退化对应着越小的r。然而，非退化（满秩）的矩阵P并不总是动力学可逆的，因为：1. 尽管<math>

纯粹的置换矩阵在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。考虑P的秩r，当且仅当r<N（N为矩阵的维数）的时候，P是不可逆的；且P越退化对应着越小的r。然而，非退化（满秩）的矩阵P并不总是动力学可逆的，因为：1. 尽管<math>

P^{-1}

P^{-1}

</math>存在，<math>

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</math>并不一定是满足归一化条件（P的第i行向量<math>

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P_{i}

P_{i}

</math>的第一范数应该为1）的合法TPM。2. 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。

</math>的第一范数应该为1）的合法TPM。2. 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。所有置换矩阵的行向量都是独热向量（one-hot vector)（即只有一个元素是1，其余元素均为零的向量）。这一特性可以被矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是独热向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以借由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数共同定义P的近似动力学可逆性。  

 

所有置换矩阵的行向量都是独热向量（one-hot vector)（即只有一个元素是1，其余元素均为零的向量）。这一特性可以被矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是独热向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以借由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数共同定义P的近似动力学可逆性。

首先，矩阵的秩可以被写作：

首先，矩阵的秩可以被写作：

</math>时，<math>

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\Gamma_{\alpha}

\Gamma_{\alpha}

</math>是P的准范数（quasinorm）<ref>Schatten norm from Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Schatten norm</ref><ref>Recht, B., Fazel, M., Parrilo, P.A.: Guaranteed minimum-rank solutions of linear matrix equations via nuclear norm minimization. SIAM review 52(3), 471–501 (2010)</ref><ref>Chi, Y., Lu, Y.M., Chen, Y.: Nonconvex optimization meets low-rank matrix factorization: An overview. IEEE Transactions on Signal Processing 67(20), 52395269 (2019)</ref><ref name="Cui">Cui, S., Wang, S., Zhuo, J., Li, L., Huang, Q., Tian, Q.: Towards discriminability and diversity: Batch nuclear-norm maximization under label insufficient situations. In: Proceedings of the IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, pp. 3941–3950 (2020)</ref>。

</math>是P的准范数（quasinorm）<ref>Schatten norm from Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Schatten norm</ref><ref>Recht, B., Fazel, M., Parrilo, P.A.: Guaranteed minimum-rank solutions of linear matrix equations via nuclear norm minimization. SIAM review 52(3), 471–501 (2010)</ref><ref>Chi, Y., Lu, Y.M., Chen, Y.: Nonconvex optimization meets low-rank matrix factorization: An overview. IEEE Transactions on Signal Processing 67(20), 52395269 (2019)</ref><ref name="Cui">Cui, S., Wang, S., Zhuo, J., Li, L., Huang, Q., Tian, Q.: Towards discriminability and diversity: Batch nuclear-norm maximization under label insufficient situations. In: Proceedings of the IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, pp. 3941–3950 (2020)</ref>。使用这个定义来刻画近似动力学可逆性是合理的，因为完全动力学可逆性可以通过最大化<math>

 

使用这个定义来刻画近似动力学可逆性是合理的，因为完全动力学可逆性可以通过最大化<math>

\Gamma_{\alpha}

\Gamma_{\alpha}

</math>来得到。

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'''定理2：'''对于任意<math>

'''定理2：'''对于任意<math>

</math>的最大化并不意味着P是可逆的。<math>

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{||P||}_{F}

{||P||}_{F}

</math>与EI定义中的确定性项具有可比性，因为当P具有越来越多的独热向量，P中的最大转移概率也会变得更大，意味着动力学变得更加可逆。

</math>与EI定义中的确定性项具有可比性，因为当P具有越来越多的独热向量，P中的最大转移概率也会变得更大，意味着动力学变得更加可逆。在实践中总是取<math>

 

在实践中总是取<math>

\alpha=1

\alpha=1

</math>来平衡<math>

</math>来平衡<math>

\gamma_{\alpha}

\gamma_{\alpha}

</math>总是小于1。

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'''定理3：'''对于任意 TPM P 和 <math>

'''定理3：'''对于任意 TPM P 和 <math>

</math>

</math>

这些定义与任何粗粒化方法无关，它代表了马尔可夫动力学的内在客观属性。因此，清晰和模糊因果涌现的程度都可以客观地量化。当<math>

 

当<math>

\epsilon=0

\epsilon=0

</math>时，清晰因果涌现是模糊因果涌现的特例，特别是当奇异值可以分析求解时，它具有理论价值。此外，对因果涌现发生的判断与<math>

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\alpha

\alpha

</math>无关，因为它只与秩有关。因此，清晰因果涌现的概念仅由P决定，是无参数的。

</math>无关，因为它只与秩有关。因此，清晰因果涌现的概念仅由P决定，是无参数的。在实际应用中，必须给出阈值<math>

 

在实际应用中，必须给出阈值<math>

\epsilon

\epsilon

</math>，因为奇异值可能无限趋近于0，但P是满秩的。可以根据奇异值频谱中的明显截止点来选择<math>

</math>，因为奇异值可能无限趋近于0，但P是满秩的。可以根据奇异值频谱中的明显截止点来选择<math>

</math>非常小（比如<math>

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\epsilon<{10}^{-10}

\epsilon<{10}^{-10}

</math>），我们也可以说因果涌现大致发生。

</math>），我们也可以说因果涌现大致发生。对于任意<math>

 

对于任意<math>

\epsilon\ge{0},\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)\in[0,N-1].

\epsilon\ge{0},\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)\in[0,N-1].

</math>只有当<math>\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)>0

</math>只有当<math>\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)>0