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在线性代数中，奇异值分解（SVD）是将实矩阵或复矩阵分解为旋转、缩放和再次旋转的一种因子分解方法。它将具有正交特征基的方阵特征分解推广到任意<math>m*n</math>矩阵。它与极分解有关。

在线性代数中，奇异值分解（SVD）是将实矩阵或复矩阵分解为旋转、缩放和再次旋转的一种因子分解方法。它将具有正交特征基的方阵特征分解推广到任意<math>m*n</math>矩阵。它与极分解有关。

具体来说，一个 m \times n$ 复矩阵 $\mathbf{M}$ 的奇异值分解是一种形如 $\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^}$ 的分解，其中 $\mathbf{U}$ 是 $m \times m$ 复酉矩阵，$\mathbf{\Sigma}$ 是 $m \times n$ 矩形对角矩阵，对角线上的元素是非负实数，$\mathbf{V}$ 是 $n \times n$ 复酉矩阵，$\mathbf{V}^$ 是 $\mathbf{V}$ 的共轭转置。这种分解对任何复矩阵都存在。如果 $\mathbf{M}$ 是实矩阵，那么 $\mathbf{U}$ 和 $\mathbf{V}$ 可以保证是实正交矩阵；在这种情况下，SVD 通常表示为 $\mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}$。

具体来说，一个 <math>m * n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值分解是一种形如 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^}</math> 的分解，其中 <math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> 复酉矩阵，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> 矩形对角矩阵，对角线上的元素是非负实数，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵，<math>\mathbf{V}^</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的共轭转置。这种分解对任何复矩阵都存在。如果 <math>\mathbf{M}</math> 是实矩阵，那么 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 可以保证是实正交矩阵；在这种情况下，SVD 通常表示为 <math>\mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。

$\mathbf{\Sigma}$ 的对角元素 $\sigma_i = \Sigma_{ii}$ 由 $\mathbf{M}$ 唯一确定，被称为 $\mathbf{M}$ 的奇异值。非零奇异值的数量等于 $\mathbf{M}$ 的秩。$\mathbf{U}$ 的列和 $\mathbf{V}$ 的列分别被称为 $\mathbf{M}$ 的左奇异向量和右奇异向量。它们形成两组正交基 $\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m$ 和 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$，如果将它们排序使得值为零的奇异值 $\sigma_i$ 都在最高编号的列（或行）中，那么奇异值分解可以写成：

$\mathbf{\Sigma}$ 的对角元素 $\sigma_i = \Sigma_{ii}$ 由 $\mathbf{M}$ 唯一确定，被称为 $\mathbf{M}$ 的奇异值。非零奇异值的数量等于 $\mathbf{M}$ 的秩。$\mathbf{U}$ 的列和 $\mathbf{V}$ 的列分别被称为 $\mathbf{M}$ 的左奇异向量和右奇异向量。它们形成两组正交基 $\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m$ 和 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$，如果将它们排序使得值为零的奇异值 $\sigma_i$ 都在最高编号的列（或行）中，那么奇异值分解可以写成：

SVD 的数学应用包括计算伪逆、矩阵近似以及确定矩阵的秩、值域和零空间。SVD 在科学、工程和统计学的各个领域都非常有用，如信号处理、数据最小二乘拟合和过程控制。

SVD 的数学应用包括计算伪逆、矩阵近似以及确定矩阵的秩、值域和零空间。SVD 在科学、工程和统计学的各个领域都非常有用，如信号处理、数据最小二乘拟合和过程控制。