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具体来说，一个 <math>m * n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值分解是一种形如 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^}</math> 的分解，其中 <math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> 复酉矩阵，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> 矩形对角矩阵，对角线上的元素是非负实数，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵，<math>\mathbf{V}^</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的共轭转置。这种分解对任何复矩阵都存在。如果 <math>\mathbf{M}</math> 是实矩阵，那么 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 可以保证是实正交矩阵；在这种情况下，SVD 通常表示为 <math>\mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。

具体来说，一个 <math>m * n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值分解是一种形如 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^}</math> 的分解，其中 <math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> 复酉矩阵，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> 矩形对角矩阵，对角线上的元素是非负实数，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵，<math>\mathbf{V}^</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的共轭转置。这种分解对任何复矩阵都存在。如果 <math>\mathbf{M}</math> 是实矩阵，那么 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 可以保证是实正交矩阵；在这种情况下，SVD 通常表示为 <math>\mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。

$\mathbf{\Sigma}$ 的对角元素 $\sigma_i = \Sigma_{ii}$ 由 $\mathbf{M}$ 唯一确定，被称为 $\mathbf{M}$ 的奇异值。非零奇异值的数量等于 $\mathbf{M}$ 的秩。$\mathbf{U}$ 的列和 $\mathbf{V}$ 的列分别被称为 $\mathbf{M}$ 的左奇异向量和右奇异向量。它们形成两组正交基 $\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m$ 和 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$，如果将它们排序使得值为零的奇异值 $\sigma_i$ 都在最高编号的列（或行）中，那么奇异值分解可以写成：

 

 

 

 

<math>\mathbf{\Sigma}</math> 的对角元素 $\sigma_i = \Sigma_{ii}$ 由 $\mathbf{M}$ 唯一确定，被称为 $\mathbf{M}$ 的奇异值。非零奇异值的数量等于 $\mathbf{M}$ 的秩。$\mathbf{U}$ 的列和 $\mathbf{V}$ 的列分别被称为 $\mathbf{M}$ 的左奇异向量和右奇异向量。它们形成两组正交基 $\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m$ 和 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n$，如果将它们排序使得值为零的奇异值 $\sigma_i$ 都在最高编号的列（或行）中，那么奇异值分解可以写成：

<math>\mathbf{M} = \sum_{i=1}^r \sigma_i \mathbf{u}_i \mathbf{v}_i^*,</math>

<math>\mathbf{M} = \sum_{i=1}^r \sigma_i \mathbf{u}_i \mathbf{v}_i^*,</math>