更改

在线性代数中，奇异值分解（SVD）是将实矩阵或复矩阵分解为旋转、缩放和再次旋转的一种因子分解方法。它将具有正交特征基的方阵特征分解推广到任意<math>m*n</math>矩阵。它与极分解有关。

在线性代数中，奇异值分解（SVD）是将实矩阵或复矩阵分解为旋转、缩放和再次旋转的一种因子分解方法。它将具有正交特征基的方阵特征分解推广到任意<math>m*n</math>矩阵。它与极分解有关。

具体来说，一个 <math>m * n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值分解是一种形如 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^*}</math> 的分解，其中 <math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> 复酉矩阵，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> 矩形对角矩阵，对角线上的元素是非负实数，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵，<math>\mathbf{V}^</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的共轭转置。这种分解对任何复矩阵都存在。如果 <math>\mathbf{M}</math> 是实矩阵，那么 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 可以保证是实正交矩阵；在这种情况下，SVD 通常表示为 <math>\mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。

具体来说，一个 <math>m * n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值分解是一种形如 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^*}</math> 的分解，其中 <math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> 复酉矩阵，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> 矩形对角矩阵，对角线上的元素是非负实数，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵，<math>\mathbf{V}^*</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的共轭转置。这种分解对任何复矩阵都存在。如果 <math>\mathbf{M}</math> 是实矩阵，那么 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 可以保证是实正交矩阵；在这种情况下，SVD 通常表示为 <math>\mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。