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第1行： − 在线性代数中，奇异值分解（SVD）是将实矩阵或复矩阵分解为旋转、缩放和再次旋转的一种因子分解方法。它将具有正交特征基的方阵特征分解推广到任意<math>m*n</math>矩阵。它与极分解有关。 − 具体来说，一个 <math>m * n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值分解是一种形如 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^*}</math> 的分解，其中 <math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> 复酉矩阵，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> 矩形对角矩阵，对角线上的元素是非负实数，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵，<math>\mathbf{V}^*</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的共轭转置。这种分解对任何复矩阵都存在。如果 <math>\mathbf{M}</math> 是实矩阵，那么 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 可以保证是实正交矩阵；在这种情况下，SVD 通常表示为 <math>\mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。 − − − − <math>\mathbf{\Sigma}</math> 的对角元素 <math>\sigma_i = \Sigma_{ii}</math> 由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定，被称为 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值。非零奇异值的数量等于 <math>\mathbf{M}</math> 的秩。<math>\mathbf{U}</math> 的列和 <math>\mathbf{V}</math> 的列分别被称为 <math>\mathbf{M}</math> 的左奇异向量和右奇异向量。它们形成两组正交基 <math>\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m</math> 和 <math>\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n</math>，如果将它们排序使得值为零的奇异值 <math>\sigma_i</math> 都在最高编号的列（或行）中，那么奇异值分解可以写成： − − <math>\mathbf{M} = \sum_{i=1}^r \sigma_i \mathbf{u}_i \mathbf{v}_i^*,</math> − − 其中 $r \leq \min{m,n}$ 是 $\mathbf{M}$ 的秩。 − − SVD 不是唯一的，但总是可以选择使奇异值 $\Sigma_{ii}$ 按降序排列的分解。在这种情况下，$\mathbf{\Sigma}$（但不是 $\mathbf{U}$ 和 $\mathbf{V}$）由 $\mathbf{M}$ 唯一确定。 − − 有时，SVD 也指紧凑型 SVD，这是一种类似的分解 $\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^$，其中 $\mathbf{\Sigma}$ 是 $r \times r$ 的方形对角矩阵，$r \leq \min{m,n}$ 是 $\mathbf{M}$ 的秩，且只包含非零奇异值。在这种变体中，$\mathbf{U}$ 是 $m \times r$ 半酉矩阵，$\mathbf{V}$ 是 $n \times r$ 半酉矩阵，满足 $\mathbf{U}^ \mathbf{U} = \mathbf{V}^* \mathbf{V} = \mathbf{I}_r$。 − − SVD 的数学应用包括计算伪逆、矩阵近似以及确定矩阵的秩、值域和零空间。SVD 在科学、工程和统计学的各个领域都非常有用，如信号处理、数据最小二乘拟合和过程控制。
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