1,177
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第1行：
第1行： + + + + + + + + + + + + + + + +
无编辑摘要
在线性代数中，奇异值分解（SVD）是将实矩阵或复矩阵分解为旋转、缩放和再次旋转的一种因子分解方法。它将具有正交特征基的方阵特征分解推广到任意 <math>m \times n</math> 矩阵。它与极分解有关。
具体来说，一个 <math>m \times n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值分解是一种形如 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^*}</math> 的分解，其中 <math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> 复酉矩阵，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> 矩形对角矩阵，对角线上的元素是非负实数，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵，<math>\mathbf{V}^*</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的共轭转置。这种分解对任何复矩阵都存在。如果 <math>\mathbf{M}</math> 是实矩阵，那么 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 可以保证是实正交矩阵；在这种情况下，SVD 通常表示为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。
<math>\mathbf{\Sigma}</math> 的对角元素 <math>\sigma_i = \Sigma_{ii}</math> 由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定，被称为 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值。非零奇异值的数量等于 <math>\mathbf{M}</math> 的秩。<math>\mathbf{U}</math> 的列和 <math>\mathbf{V}</math> 的列分别被称为 <math>\mathbf{M}</math> 的左奇异向量和右奇异向量。它们形成两组正交基 <math>\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m</math> 和 <math>\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n</math>，如果将它们排序使得值为零的奇异值 <math>\sigma_i</math> 都在最高编号的列（或行）中，那么奇异值分解可以写成：
<math>
\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^*} = \sum_{i=1}^r \sigma_i \mathbf{u}_i \mathbf{v}_i^*
</math>
其中 <math>r \leq \min{m,n}</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩。
SVD 不是唯一的，但总是可以选择使奇异值 <math>\Sigma_{ii}</math> 按降序排列的分解。在这种情况下，<math>\mathbf{\Sigma}</math>（但不是 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math>）由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定。
有时，SVD 也指紧凑型 SVD，这是一种类似的分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^</math>，其中 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>r \times r</math> 的方形对角矩阵，<math>r \leq \min{m,n}</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩，且只包含非零奇异值。在这种变体中，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times r</math> 半酉矩阵，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times r</math> 半酉矩阵，满足 <math>\mathbf{U}^ \mathbf{U} = \mathbf{V}^* \mathbf{V} = \mathbf{I}_r</math>。
SVD 的数学应用包括计算伪逆、矩阵近似以及确定矩阵的秩、值域和零空间。SVD 在科学、工程和统计学的各个领域都非常有用，如信号处理、数据最小二乘拟合和过程控制。