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SVD 不是唯一的，但总是可以选择使奇异值 <math>\Sigma_{ii}</math> 按降序排列的分解。在这种情况下，<math>\mathbf{\Sigma}</math>（但不是 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math>）由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定。

SVD 不是唯一的，但总是可以选择使奇异值 <math>\Sigma_{ii}</math> 按降序排列的分解。在这种情况下，<math>\mathbf{\Sigma}</math>（但不是 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math>）由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定。

有时，SVD 也指紧凑型 SVD，这是一种类似的分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^*</math>，其中 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>r \times r</math> 的方形对角矩阵，<math>r \leq \min{m,n}</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩，且只包含非零奇异值。在这种变体中，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times r</math> 半酉矩阵，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times r</math> 半酉矩阵，满足 <math>\mathbf{U}^ \mathbf{U} = \mathbf{V}^* \mathbf{V} = \mathbf{I}_r</math>。

有时，SVD 也指紧凑型 SVD，这是一种类似的分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^</math>，其中 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>r \times r</math> 的方形对角矩阵，<math>r \leq \min{m,n}</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩，且只包含非零奇异值。在这种变体中，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times r</math> 半酉矩阵，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times r</math> 半酉矩阵，满足 <math>\mathbf{U}^ \mathbf{U} = \mathbf{V}^* \mathbf{V} = \mathbf{I}_r</math>。

SVD 的数学应用包括计算伪逆、矩阵近似以及确定矩阵的秩、值域和零空间。SVD 在科学、工程和统计学的各个领域都非常有用，如信号处理、数据最小二乘拟合和过程控制。

SVD 的数学应用包括计算伪逆、矩阵近似以及确定矩阵的秩、值域和零空间。SVD 在科学、工程和统计学的各个领域都非常有用，如信号处理、数据最小二乘拟合和过程控制。

==直觉解释==

==直觉解释==