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马尔科夫链的粗粒化 (查看源代码)

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第201行：第201行：

====正例====

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~~我们可以看到，123行都是一样的，所以把他们分在一组，并把状态4分在另外一组，看起来像是一个合理的正例。~~

+

我们可以看到，123行都是一样的，所以把他们<math>\{s_1, s_2, s_3\}</math>分在一组<math>A_1</math>，并把状态<math>s_4</math>分在另外一组<math>A_2</math>，看起来像是一个合理的正例。

接下来我们来计算一下。设<math>p_{s_1 \rightarrow s_2} = p(f_t = s_2 | f_{t-1} = s_1)</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_2} = p(f_t \in A_2 | f_{t-1} = s_1)</math>

−

~~第1组的状态1到第1组的状态2，~~<math>p_{s_1 \rightarrow A_1} = p_{A_1 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_1} + p_{s_1 \rightarrow s_2} + p_{s_1 \rightarrow s_3} = 0.3 \times 3 = 0.9 </math>

+

第1组<math>A_1</math>的状态<math>s_1</math>到第1组<math>A_1</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_1} = p_{A_1 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_1} + p_{s_1 \rightarrow s_2} + p_{s_1 \rightarrow s_3} = 0.3 \times 3 = 0.9 </math>

−

~~第1组的状态1到第2组的状态4，~~<math>p_{s_1 \rightarrow A_2} = p_{A_1 \rightarrow A_2} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_4} = 0.1 </math>

+

第1组<math>A_1</math>的状态<math>s_1</math>到第2组<math>A_2</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_2} = p_{A_1 \rightarrow A_2} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_4} = 0.1 </math>

−

~~第2组的状态4到第1组的状态1，~~<math>p_{s_4 \rightarrow A_1} = p_{A_2 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_4 \rightarrow s_m} = p_{s_4 \rightarrow s_1} + p_{s_4 \rightarrow s_2} + p_{s_4 \rightarrow s_3} = 0.1 \times 3 = 0.3 </math>

+

第2组<math>A_2</math>的状态<math>s_4</math>到第1组<math>A_1</math>，<math>p_{s_4 \rightarrow A_1} = p_{A_2 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_4 \rightarrow s_m} = p_{s_4 \rightarrow s_1} + p_{s_4 \rightarrow s_2} + p_{s_4 \rightarrow s_3} = 0.1 \times 3 = 0.3 </math>

−

~~第2组的状态4到第2组的状态4，~~<math>p_{s_4 \rightarrow A_2} = p_{A_2 \rightarrow A_2} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_4 \rightarrow s_m} = p_{s_4 \rightarrow s_4} = 0.7 </math>

+

第2组<math>A_2</math>的状态<math>s_4</math>到第2组<math>A_2</math>，<math>p_{s_4 \rightarrow A_2} = p_{A_2 \rightarrow A_2} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_4 \rightarrow s_m} = p_{s_4 \rightarrow s_4} = 0.7 </math>

<math>

第231行：第231行：

同样的，我们来计算一下。这次我们需要对3和4分开计算了。

−

~~第1组的状态1到第1组的状态2，~~<math>p_{s_1 \rightarrow A_1} = p_{A_1 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_1} + p_{s_1 \rightarrow s_2} = 0.3 \times 2 = 0.6 </math>

+

第1组<math>A_1</math>的状态<math>s_1</math>到第1组<math>A_1</math>的状态<math>s_2</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_1} = p_{A_1 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_1} + p_{s_1 \rightarrow s_2} = 0.3 \times 2 = 0.6 </math>

−

~~第1组的状态1到第2组的状态3，~~<math>p_{s_1 \rightarrow A_2} = p_{A_1 \rightarrow A_2} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_3} + p_{s_1 \rightarrow s_4} = 0.4 </math>

+

第1组<math>A_1</math>的状态<math>s_1</math>到第2组<math>A_2</math>的状态<math>s_3</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_2} = p_{A_1 \rightarrow A_2} = \sum_{s_m \in A_2} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_3} + p_{s_1 \rightarrow s_4} = 0.4 </math>

−

~~第2组的状态3到第1组的状态1，~~<math>p_{s_3 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_3 \rightarrow s_m} = p_{s_3 \rightarrow s_1} + p_{s_3 \rightarrow s_2} = 0.3 \times 2 = 0.6 </math>

+

第2组<math>A_2</math>的状态<math>s_3</math>到第1组<math>A_1</math>的状态<math>s_1</math>，<math>p_{s_3 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_3 \rightarrow s_m} = p_{s_3 \rightarrow s_1} + p_{s_3 \rightarrow s_2} = 0.3 \times 2 = 0.6 </math>

−

~~第2组的状态4到第1组的状态1，~~<math>p_{s_4 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_4 \rightarrow s_m} = p_{s_4 \rightarrow s_1} + p_{s_4 \rightarrow s_2} = 0.1 \times 2 = 0.2 </math>

+

第2组<math>A_2</math>的状态<math>s_4</math>到第1组<math>A_1</math>的状态<math>s_1</math>，<math>p_{s_4 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_4 \rightarrow s_m} = p_{s_4 \rightarrow s_1} + p_{s_4 \rightarrow s_2} = 0.1 \times 2 = 0.2 </math>

这里我们就能看到，<math>p_{s_3 \rightarrow A_1} \neq p_{s_4 \rightarrow A_1}</math>，当同一组的两个状态<math>s_3</math>和<math>s_4</math>对其他组的转移概率不一样的话，如果我们强行按照这样来分组（也没办法强行，因为我们不知道<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = p_{s_3 \rightarrow A_1}</math>还是<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = p_{s_4 \rightarrow A_1}</math>），假设<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = 0.6</math>，我们会发现这样的粗粒化结果违背了Lumpability一开始的定义<ref name=":3" />（公式(3)），即粗粒化后的'''转移概率对所有的初始微观状态<math>\pi</math>都适用'''。因为当<math>\pi = s_4</math>的时候，<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = 0.6</math>这个转移概率就是错的，即使<math>\pi \neq s_4</math>，任何初始微观状态<math>\pi</math>都会在某时刻<math>n</math>达到<math>s_4</math>并导致转移概率出错。

Liangjh

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