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[[文件:Singular-Value-Decomposition.svg.png|无框|右|奇异值分解]]

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在线性代数中，'''<font color="#ff8000">奇异值分解 Singular value decomposition</font>'''是一种通过旋转、缩放和再次旋转来因式分解'''实矩阵 real matrix '''或'''复矩阵 complex matrix '''的方法。它把具有'''正交特征基 orthonormal eigenbasis '''的方阵'''特征分解 eigendecomposition '''推广到任意 <math>m \times n</math> 矩阵，并与'''极分解 polar decomposition '''密切相关。

在线性代数中，'''<font color="#ff8000">奇异值分解 Singular value decomposition</font>'''是一种通过旋转、缩放和再次旋转来因式分解[['''实矩阵 real matrix ''']]或'''复矩阵 complex matrix '''的方法。它把具有'''正交特征基 orthonormal eigenbasis '''的方阵'''特征分解 eigendecomposition '''推广到任意 <math>m \times n</math> 矩阵，并与'''极分解 polar decomposition '''密切相关。

具体而言，我们可以将一个 <math>m \times n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 分解为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^*}</math>。这里，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> '''复酉矩阵 complex unitary matrix '''，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> '''矩形对角矩阵 rectangular diagonal matrix '''，其对角线元素为非负实数，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵，而 <math>\mathbf{V}^*</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的'''共轭转置 conjugate transpose '''。这种分解适用于任何复矩阵。若 <math>\mathbf{M}</math> 为实矩阵，则 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 必为实'''正交矩阵 real orthogonal matrices '''；此时，我们通常将SVD表示为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。

具体而言，我们可以将一个 <math>m \times n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 分解为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^*}</math>。这里，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> '''复酉矩阵 complex unitary matrix '''，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> '''矩形对角矩阵 rectangular diagonal matrix '''，其对角线元素为非负实数，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵，而 <math>\mathbf{V}^*</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的'''共轭转置 conjugate transpose '''。这种分解适用于任何复矩阵。若 <math>\mathbf{M}</math> 为实矩阵，则 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 必为实'''正交矩阵 real orthogonal matrices '''；此时，我们通常将SVD表示为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。