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在线性代数中，奇异值分解 Singular value decomposition是一种通过旋转、缩放和再次旋转来因式分解[[实矩阵 real matrix ]]或[[复矩阵 complex matrix ]]的方法。它把具有[[正交特征基 orthonormal eigenbasis ]]的方阵[[特征分解 eigendecomposition ]]推广到任意 <math>m \times n</math> 矩阵，并与[[极分解 polar decomposition ]]密切相关。
在线性代数中，奇异值分解 Singular value decomposition是一种通过旋转、缩放和再次旋转来因式分解[[实矩阵 real matrix ]]或[[复矩阵 complex matrix ]]的方法。它把具有[[正交特征基 orthonormal eigenbasis ]]的方阵[[特征分解 eigendecomposition ]]推广到任意 <math>m \times n</math> 矩阵，并与[[极分解 polar decomposition ]]密切相关。
[[文件:Singular-Value-Decomposition.svg.png|无框|左|奇异值分解]]
[[文件:Singular-Value-Decomposition.svg.png|无框|居左|奇异值分解]]
具体而言，我们可以将一个 <math>m \times n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 分解为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^*}</math>。这里，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> [[复酉矩阵 complex unitary matrix ]]，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> [[矩形对角矩阵 rectangular diagonal matrix ]]，其对角线元素为非负实数，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵，而 <math>\mathbf{V}^*</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的[[共轭转置 conjugate transpose ]]。这种分解适用于任何复矩阵。若 <math>\mathbf{M}</math> 为实矩阵，则 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 必为实[[正交矩阵 real orthogonal matrices ]]；此时，我们通常将SVD表示为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。
具体而言，我们可以将一个 <math>m \times n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 分解为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^*}</math>。这里，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> [[复酉矩阵 complex unitary matrix ]]，<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> [[矩形对角矩阵 rectangular diagonal matrix ]]，其对角线元素为非负实数，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵，而 <math>\mathbf{V}^*</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的[[共轭转置 conjugate transpose ]]。这种分解适用于任何复矩阵。若 <math>\mathbf{M}</math> 为实矩阵，则 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 必为实[[正交矩阵 real orthogonal matrices ]]；此时，我们通常将SVD表示为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。