2,464
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第15行：
第15行： − 虽然SVD不是唯一的，但我们普遍可以选择让奇异值 <math>\Sigma_{ii}</math> 按降序排列。这样一来，<math>\mathbf{\Sigma}</math>（而非 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math>）就由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定了。+ 第32行：
第32行： − +
无编辑摘要
这里 <math>r \leq \min{m,n}</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩。
这里 <math>r \leq \min{m,n}</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩。
虽然SVD不是唯一的，但我们总是可以选择让奇异值 <math>\Sigma_{ii}</math> 按降序排列。这样一来，<math>\mathbf{\Sigma}</math>（而非 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math>）就由 <math>\mathbf{M}</math> 唯一确定了。
有时，我们也把SVD称为[[紧凑型SVD compact SVD ]]。紧凑型SVD是一种类似的分解： <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^*</math>，其中 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>r \times r</math> 的方形对角矩阵，<math>r \leq \min{m,n}</math>，<math>r</math>是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩，只包含非零奇异值。在这种变体中，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times r</math> [[半酉矩阵 semi-unitary matrix ]]，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times r</math> 半酉矩阵，满足 <math>\mathbf{U}^ \mathbf{U} = \mathbf{V}^ \mathbf{V} = \mathbf{I}_r</math>。
有时，我们也把SVD称为[[紧凑型SVD compact SVD ]]。紧凑型SVD是一种类似的分解： <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^*</math>，其中 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>r \times r</math> 的方形对角矩阵，<math>r \leq \min{m,n}</math>，<math>r</math>是 <math>\mathbf{M}</math> 的秩，只包含非零奇异值。在这种变体中，<math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times r</math> [[半酉矩阵 semi-unitary matrix ]]，<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times r</math> 半酉矩阵，满足 <math>\mathbf{U}^ \mathbf{U} = \mathbf{V}^ \mathbf{V} = \mathbf{I}_r</math>。
特别地，如果<math>\mathbf{M}</math>的行列式为正，我们可以选择<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>都带反射或都不带反射。若行列式为负，则只有一个会带反射。若行列式为零，我们可以随意选择每个矩阵的类型。
特别地，如果<math>\mathbf{M}</math>的行列式为正，我们可以选择<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>都带反射或都不带反射。若行列式为负，则只有一个会带反射。若行列式为零，我们可以随意选择每个矩阵的类型。
当<math>\mathbf{M}</math>是实矩阵但非方阵，即<math>m \times n</math>且<math>m \neq n</math>时，我们可以将其视为从<math>\mathbb{R}^n</math>到<math>\mathbb{R}^m</math>的线性变换。这时，我们可以选择<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>分别为<math>\mathbb{R}^m</math>和<math>\mathbb{R}^n</math>的旋转/反射；而<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>除了缩放前<math>\min{m,n}</math>个坐标外，还会用零扩展向量或删除尾部坐标，从而将<math>\mathbb{R}^n</math>转换为<math>\mathbb{R}^m</math>。
当<math>\mathbf{M}</math>是实矩阵但非方阵，即<math>m \times n</math>且<math>m \neq n</math>时，我们可以将其视为从<math>\mathbb{R}^n</math>到<math>\mathbb{R}^m</math>的线性变换。这时，我们可以选择<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>分别为<math>\mathbb{R}^m</math>和<math>\mathbb{R}^n</math>的旋转/反射；而<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>除了缩放前<math>\min{{m,n}}</math>个坐标外，还会用零扩展向量或删除尾部坐标，从而将<math>\mathbb{R}^n</math>转换为<math>\mathbb{R}^m</math>。
[[文件:Singular value decomposition visualisation.svg.png|无框|居左|奇异值分解可视化]]
[[文件:Singular value decomposition visualisation.svg.png|无框|居左|奇异值分解可视化]]