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设 <math>\mathbf{M}</math> 为 <math>m\times n</math> 实矩阵。定义 <math>S^{k-1}</math> 为 <math>\mathbb{R}^{k}</math> 中的单位 <math>(k-1)</math>-球面,并令 <math>\sigma(\mathbf{u},\mathbf{v})=\mathbf{u}^{\operatorname{T}}\mathbf{M}\mathbf{v}</math>,其中 <math>\mathbf{u} \in S^{m-1}</math>, <math>\mathbf{v} \in S^{n-1}</math>。

设 <math>\mathbf{M}</math> 为 <math>m\times n</math> 实矩阵。定义 <math>S^{k-1}</math> 为 <math>\mathbb{R}^{k}</math> 中的单位 <math>(k-1)</math>-球面,并令 <math>\sigma(\mathbf{u},\mathbf{v})=\mathbf{u}^{\operatorname{T}}\mathbf{M}\mathbf{v}</math>,其中 <math>\mathbf{u} \in S^{m-1}</math>, <math>\mathbf{v} \in S^{n-1}</math>。

考虑函数 <math>\sigma</math> 在 <math>S^{m-1}\times S^{n-1}</math> 上的限制。由于 <math>S^{m-1}</math> 和 <math>S^{n-1}</math> 都是[[紧集 compact sets]]，它们的乘积也是紧集。又因 <math>\sigma</math> 连续,它必在 <math>S^{m-1}</math> 中的某向量 <math>\mathbf{u}</math> 和 <math>S^{n-1}</math> 中的某向量 <math>\mathbf{v}</math> 处达到最大值。我们将这个最大值记为 <math>\sigma_1</math>，相应的向量记为 <math>\mathbf{u}_1</math> 和 <math>\mathbf{v}_1</math>。由于 <math>\sigma_1</math> 是 <math>\sigma(\mathbf{u},\mathbf{v})</math> 的最大值,它必为非负。若为负,改变 <math>\mathbf{u}_1</math> 或 <math>\mathbf{v}_1</math> 的符号就能使其变为正值,从而更大。

考虑函数 <math>\sigma</math> 在 <math>S^{m-1}\times S^{n-1}</math> 上的限制。由于 <math>S^{m-1}</math> 和 <math>S^{n-1}</math> 都是紧集（compact sets），它们的乘积也是紧集。又因 <math>\sigma</math> 连续,它必在 <math>S^{m-1}</math> 中的某向量 <math>\mathbf{u}</math> 和 <math>S^{n-1}</math> 中的某向量 <math>\mathbf{v}</math> 处达到最大值。我们将这个最大值记为 <math>\sigma_1</math>，相应的向量记为 <math>\mathbf{u}_1</math> 和 <math>\mathbf{v}_1</math>。由于 <math>\sigma_1</math> 是 <math>\sigma(\mathbf{u},\mathbf{v})</math> 的最大值,它必为非负。若为负,改变 <math>\mathbf{u}_1</math> 或 <math>\mathbf{v}_1</math> 的符号就能使其变为正值,从而更大。

现在我们提出以下陈述: <math>\mathbf{u}_1</math> 和 <math>\mathbf{v}_1</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的左右奇异向量,对应的奇异值为 <math>\sigma_1</math>。

现在我们提出以下陈述: <math>\mathbf{u}_1</math> 和 <math>\mathbf{v}_1</math> 是 <math>\mathbf{M}</math> 的左右奇异向量,对应的奇异值为 <math>\sigma_1</math>。