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'''系统机制'''：考虑一个由四个0或1元素组成的系统[math]S_m = {ABCD}[/math] (图A)。每个微观机制都是一个针对两个输入的带噪声的与门。通过将系统以等概率设置为从[0000]到[1111]的所有可能的微观状态来构建16 × 16 [math]S_m[/math] 状态转移矩阵(图B)。

'''系统机制'''：考虑一个由四个0或1元素组成的系统[math]S_m = {ABCD}[/math] (图A)。每个微观机制都是一个针对两个输入的带噪声的与门。通过将系统以等概率设置为从[0000]到[1111]的所有可能的微观状态来构建16 × 16 [math]S_m[/math] 状态转移矩阵(图B)。

'''微观尺度'''：[math]S_m[/math]的有效信息[math]EI(S) = 1.15 bits[/math](最大取值为[math]4 bits[/math])，[math]Eff(S_m) = 0.29[/math]。

'''微观尺度'''：[math]S_m[/math]的有效信息[math]EI(S) = 1.15 \text{ bits}[/math](最大取值为[math]4 \text{ bits}[/math])，[math]Eff(S_m) = 0.29[/math]。

'''粗粒化映射'''：宏观尺度[math]S_M[/math](图2D)由两个元素[math]{α, β}[/math]组成，每个元素都有状态{"on" ,"off"}，是由图2C中的映射M定义的[math]S_m[/math]的粗粒化方法。通过将系统以等概率设置为从[off, off]到[on, on]的所有可能的宏观状态，可以得到4 × 4 的[math]S_M[/math] 状态转移矩阵(图2E)。

'''粗粒化映射'''：宏观尺度[math]S_M[/math](图2D)由两个元素[math]{α, β}[/math]组成，每个元素都有状态{"on" ,"off"}，是由图2C中的映射M定义的[math]S_m[/math]的粗粒化方法。通过将系统以等概率设置为从[off, off]到[on, on]的所有可能的宏观状态，可以得到4 × 4 的[math]S_M[/math] 状态转移矩阵(图2E)。

'''宏观尺度'''：宏观尺度下[math]EI(S_M) = 1.55 bits[/math]，高于微观尺度的[math]EI(S_m) = 1.15 bits[/math]。因此，因果涌现[math]CE(S) = 0.40 bits[/math]，说明在这种情况下，宏观[math]S_M[/math]的因果性优于微观[math]S_m[/math]，构成了系统[math]S[/math]的最优因果模型。这是因为[math]S_M[/math]的概率转移矩阵更接近于完美的有效性[[math]Eff(S_M)[/math] = 0.78]，并且粗粒化映射过程中，有效性提升增加的信息量[math]\Delta I_{Eff} = 0.97 bits[/math]超过了元素空间减小而损失的信息量[math]\Delta I_{Size} = - 0.57 bits[/math]。本例中，在宏观尺度的有效性[math]\Delta I_{Eff}[/math]的增益(91%)主要来自于抵消噪声干扰[确定性系数([math]S_m) = 0.34[/math];([math]S_M) = 0.78[/math]]，少部分(9%)来源于简并性减少[简并系数 ([math]S_m) = 0.05[/math];([math]S_M) = 0.006[/math]]。

'''宏观尺度'''：宏观尺度下[math]EI(S_M) = 1.55 \text{ bits}[/math]，高于微观尺度的[math]EI(S_m) = 1.15 \text{ bits}[/math]。因此，因果涌现[math]CE(S) = 0.40 \text{ bits}[/math]，说明在这种情况下，宏观[math]S_M[/math]的因果性优于微观[math]S_m[/math]，构成了系统[math]S[/math]的最优因果模型。这是因为[math]S_M[/math]的概率转移矩阵更接近于完美的有效性[[math]Eff(S_M)[/math] = 0.78]，并且粗粒化映射过程中，有效性提升增加的信息量[math]\Delta I_{Eff} = 0.97 \text{ bits}[/math]超过了元素空间减小而损失的信息量[math]\Delta I_{Size} = - 0.57 \text{ bits}[/math]。本例中，在宏观尺度的有效性[math]\Delta I_{Eff}[/math]的增益(91%)主要来自于抵消噪声干扰[确定性系数([math]S_m) = 0.34[/math];([math]S_M) = 0.78[/math]]，少部分(9%)来源于简并性减少[简并系数 ([math]S_m) = 0.05[/math];([math]S_M) = 0.006[/math]]。

[[文件:空间因果涌现(抵消不确定性).png|无框|居左]]

[[文件:空间因果涌现(抵消不确定性).png|无框|居左]]

注：以状态空间的角度比较[math]S_m[/math]和[math]S_M[/math]，也可以得出宏观尺度的有效性更高。下图中，将[math]S_m[/math]状态{ABCD} =[0001]与相应[math]S_M[/math]状态{αβ} = [off, off]的因果分布进行对比。将[math]S_m[/math] =[0001]的因果分布与无约束库(使用[math]D_{KL}[/math]散度)进行比较，得到[math]0.83 bits[/math]的原因信息和[math]0.43 bits[/math]的结果信息。而对于宏观[math]S_M[/math]，原因信息为[math]2 bits[/math]，结果信息为[math]1.35 bits[/math]。因此，[math]{αβ} = [off, off][/math]比[math]{ABCD} =[0001][/math]更有选择性和可信度，宏观战胜了微观。

注：以状态空间的角度比较[math]S_m[/math]和[math]S_M[/math]，也可以得出宏观尺度的有效性更高。下图中，将[math]S_m[/math]状态{ABCD} =[0001]与相应[math]S_M[/math]状态{αβ} = [off, off]的因果分布进行对比。将[math]S_m[/math] =[0001]的因果分布与无约束库(使用[math]D_{KL}[/math]散度)进行比较，得到[math]0.83 bits[/math]的原因信息和[math]0.43 bits[/math]的结果信息。而对于宏观[math]S_M[/math]，原因信息为[math]2 \text{ bits}[/math]，结果信息为[math]1.35 \text{ bits}[/math]。因此，[math]{αβ} = [off, off][/math]比[math]{ABCD} =[0001][/math]更有选择性和可信度，宏观战胜了微观。

[[文件:图3状态依赖的因-果信息.png|无框|居左]]

[[文件:图3状态依赖的因-果信息.png|无框|居左]]

'''系统机制'''：微观元素A-F是确定性AND门，连接方式对应了高简并度(图A，确定性为1；简并度为0.6)

'''系统机制'''：微观元素A-F是确定性AND门，连接方式对应了高简并度(图A，确定性为1；简并度为0.6)

'''微观尺度'''：[math]Eff(S_m)[/math] = 0.4, [math]EI(S_m)[/math] = 2.43 bits(图C)。

'''微观尺度'''：[math]Eff(S_m) = 0.4[/math], [math]EI(S_m) = 2.43 \text{ bits}[/math](图C)。

'''粗粒化映射'''：最优宏观粗粒化分组映射为将6个微观AND门组合成3个宏观COPY门(αβγ)(图B)。

'''粗粒化映射'''：最优宏观粗粒化分组映射为将6个微观AND门组合成3个宏观COPY门(αβγ)(图B)。

'''宏观尺度'''：该系统中宏观和微观都是完全确定性的，但简并性减小 [math]\Delta I_{Eff} = 1.79 bits[/math]> - [math]\Delta I_{Size} = 1.22 bits[/math]。所以宏观尺度下 [math]Eff(S_M) = 1[/math], [math]EI(S_M) = 3  bits[/math]，宏观因果涌现([math]CE = 0.57 bits[/math])。

'''宏观尺度'''：该系统中宏观和微观都是完全确定性的，但简并性减小 [math]\Delta I_{Eff} = 1.79 \text{ bits}[/math]> - [math]\Delta I_{Size} = 1.22 \text{ bits}[/math]。所以宏观尺度下 [math]Eff(S_M) = 1[/math], [math]EI(S_M) = 3  \text{ bits}[/math]，宏观因果涌现([math]CE = 0.57 \text{ bits}[/math])。

'''系统机制'''：所有微观元素接收到两个尖峰的输入“发放(burst)”时，会响应一个输出发放，即遵循二阶马尔可夫机制(图A)。

'''系统机制'''：所有微观元素接收到两个尖峰的输入“发放(burst)”时，会响应一个输出发放，即遵循二阶马尔可夫机制(图A)。

'''微观尺度'''：基于一个微观时间步分析(图B)，可以得到 [[math]EI(S_m) = 0.16 bits[/math];[math]Eff(S_m) = 0.03[/math]]，因果相互作用较弱。由于系统是二阶机制，进而开展基于两个微观时间步的因果分析(图C)，可以得到 [math]EI(S_m) = 1.38 bits[/math]，[math]Eff(S_m) = 0.34[/math]。

'''微观尺度'''：基于一个微观时间步分析(图B)，可以得到 [[math]EI(S_m) = 0.16 \text{ bits}[/math];[math]Eff(S_m) = 0.03[/math]]，因果相互作用较弱。由于系统是二阶机制，进而开展基于两个微观时间步的因果分析(图C)，可以得到 [math]EI(S_m) = 1.38 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_m) = 0.34[/math]。

'''粗粒化映射'''：将微观状态在时间上分组为宏观状态[math]α = {A_t, A_{t+1}}[/math]和[math]β = {B_t, B_{t+1}}[/math](图D)。

'''粗粒化映射'''：将微观状态在时间上分组为宏观状态[math]α = {A_t, A_{t+1}}[/math]和[math]β = {B_t, B_{t+1}}[/math](图D)。

'''宏观尺度'''：在宏观时间尺度下的 [math]EI(S_M) = 2 bits[/math]，[math]Eff(S_M) = 1[/math], [math]CE(S) = 0.62 bits[/math]，系统变得完全确定性和非简并 (图E, F)。

'''宏观尺度'''：在宏观时间尺度下的 [math]EI(S_M) = 2 \text{ bits}[/math]，[math]Eff(S_M) = 1[/math], [math]CE(S) = 0.62 \text{ bits}[/math]，系统变得完全确定性和非简并 (图E, F)。

[[文件:图5时间因果涌现.png|无框|居左]]

[[文件:图5时间因果涌现.png|无框|居左]]

* 组机制：所有元素被划分为三组[math]{ABC, DEF, GHI}[/math]，在每组内，如果两个时间步内组内连接之和[math]\sum(intra) = 0[/math]，接下来的两个时间步所有元素保持为0。然而，如果在两个时间步中，与另外两组中的组间连接之和[math]\sum(inter) = 6[/math]，则在接下来的两个时间步中，发放概率提高0.5。

* 组机制：所有元素被划分为三组[math]{ABC, DEF, GHI}[/math]，在每组内，如果两个时间步内组内连接之和[math]\sum(intra) = 0[/math]，接下来的两个时间步所有元素保持为0。然而，如果在两个时间步中，与另外两组中的组间连接之和[math]\sum(inter) = 6[/math]，则在接下来的两个时间步中，发放概率提高0.5。

'''微观尺度'''：微观尺度下的系统具有 [[math]EI(S_m) = 0.59 bits[/math]; [math]Eff(S_m) = 0.033[/math]]

'''微观尺度'''：微观尺度下的系统具有 [[math]EI(S_m) = 0.59 \text{ bits}[/math]; [math]Eff(S_m) = 0.033[/math]]

'''粗粒化映射'''：在宏观尺度[math]S_M[/math]，三组神经元分组为宏观成分，两个微观时间步长([math]t_x[/math])被聚合为一个宏观时间步长([math]T_x[/math])(图B)。

'''粗粒化映射'''：在宏观尺度[math]S_M[/math]，三组神经元分组为宏观成分，两个微观时间步长([math]t_x[/math])被聚合为一个宏观时间步长([math]T_x[/math])(图B)。

'''宏观尺度'''：粗粒化后的系统具有更高的[math]EI(S_M)[/math] = 3.51 bits，和[math]Eff(S_M) = 0.74[/math]。时空因果涌现发生，[math]CE(S) = 2.92 bits[/math]，即粗粒化过后系统确定性的增加，增加程度远超简并性的增加与状态集的减小。

'''宏观尺度'''：粗粒化后的系统具有更高的[math]EI(S_M) = 3.51 \text{ bits}[/math]，和[math]Eff(S_M) = 0.74[/math]。时空因果涌现发生，[math]CE(S) = 2.92 \text{ bits}[/math]，即粗粒化过后系统确定性的增加，增加程度远超简并性的增加与状态集的减小。

[[文件:图6时空因果涌现.png|无框|居左]]

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