更改

特别地，奇异值为0的左奇异向量和右奇异向量分别包括 <math>\mathbf{M}</math> 的余核（cokernel）和核（kernel）中的所有单位向量。根据秩-零化度定理（rank–nullity theorem），如果 <math>m \neq n</math>，它们的维数不可能相同。即使所有奇异值都非零，当 <math>m > n</math> 时，余核是非平凡（nontrivial）的，此时 <math>\mathbf{U}</math> 用余核中的 <math>m-n</math> 个正交向量填充。相反，当 <math>m < n</math> 时，<math>\mathbf{V}</math> 由核中的 <math>n-m</math> 个正交向量填充。然而，如果存在0的奇异值，<math>\mathbf{U}</math> 或 <math>\mathbf{V}</math> 的额外列已经作为左奇异向量或右奇异向量出现。

特别地，奇异值为0的左奇异向量和右奇异向量分别包括 <math>\mathbf{M}</math> 的余核（cokernel）和核（kernel）中的所有单位向量。根据秩-零化度定理（rank–nullity theorem），如果 <math>m \neq n</math>，它们的维数不可能相同。即使所有奇异值都非零，当 <math>m > n</math> 时，余核是非平凡（nontrivial）的，此时 <math>\mathbf{U}</math> 用余核中的 <math>m-n</math> 个正交向量填充。相反，当 <math>m < n</math> 时，<math>\mathbf{V}</math> 由核中的 <math>n-m</math> 个正交向量填充。然而，如果存在0的奇异值，<math>\mathbf{U}</math> 或 <math>\mathbf{V}</math> 的额外列已经作为左奇异向量或右奇异向量出现。

非简并奇异值总有唯一的左奇异向量和右奇异向量，只能乘以单位相位因子 <math>e^{i\varphi}</math>（实数情况下，只能乘以正负号）。因此，如果方阵 <math>\mathbf{M}</math> 的所有奇异值都是非简并且非零的，那么它的奇异值分解是唯一的，只能对 <math>\mathbf{U}</math> 的一列乘以单位相位因子，同时对 <math>\mathbf{V}</math> 的相应列乘以相同的单位相位因子。总的来说，SVD 在对 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的列向量（这些列向量张成每个奇异值的子空间）统一应用任意酉变换，以及对 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的向量（这些向量分别张成 <math>\mathbf{M}</math> 的核和余核）应用任意酉变换的情况下是唯一的。

非简并奇异值总有唯一的左奇异向量和右奇异向量，只能乘以单位相位因子（unit-phase factor） <math>e^{i\varphi}</math>（实数情况下，只能乘以正负号）。因此，如果方阵 <math>\mathbf{M}</math> 的所有奇异值都是非简并且非零的，那么它的奇异值分解是唯一的，只能对 <math>\mathbf{U}</math> 的一列乘以单位相位因子，同时对 <math>\mathbf{V}</math> 的相应列乘以相同的单位相位因子。总的来说，SVD 在对 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的列向量（这些列向量张成每个奇异值的子空间）统一应用任意酉变换，以及对 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的向量（这些向量分别张成 <math>\mathbf{M}</math> 的核和余核）应用任意酉变换的情况下是唯一的。

===与特征值分解的关系===

===与特征值分解的关系===