更改

值得注意的是，这个论证也可以从对角化 <math>\mathbf{M}\mathbf{M}^*</math> 而不是 <math>\mathbf{M}^*\mathbf{M}</math> 开始（这直接显示 <math>\mathbf{M}\mathbf{M}^*</math> 和 <math>\mathbf{M}^*\mathbf{M}</math> 具有相同的非零特征值）。

值得注意的是，这个论证也可以从对角化 <math>\mathbf{M}\mathbf{M}^*</math> 而不是 <math>\mathbf{M}^*\mathbf{M}</math> 开始（这直接显示 <math>\mathbf{M}\mathbf{M}^*</math> 和 <math>\mathbf{M}^*\mathbf{M}</math> 具有相同的非零特征值）。

===基于变分表征 variational characterization===

===基于变分表征（variational characterization）===

奇异值可描述为 <math>\mathbf{u}^{\mathrm{T}}\mathbf{M}\mathbf{v}</math> 的最大值,这是 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 在特定子空间上的函数。当达到这些最大值时, <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的值就是奇异向量。

奇异值可描述为 <math>\mathbf{u}^{\mathrm{T}}\mathbf{M}\mathbf{v}</math> 的最大值,这是 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 在特定子空间上的函数。当达到这些最大值时, <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的值就是奇异向量。