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</math>（4）

</math>（4）

其中，根据之前的约定， <math>\xi_{1R(11)}</math>是从省略了<math>A_{ab}</math>系数的模型中得出的（如公式 (3)）。如果相应的格兰杰自主性和格兰杰因果关系测量值本身在统计上显著，则线性或非线性格兰杰涌现性值可以被视为具有统计显著性。这可以通过对零假设进行F检验来评估，即<math>A_{11}</math>（格兰杰自主性）和<math>A_{12}</math>...<math>A_{n}</math>（格兰杰因果关系）的系数为零<ref name="Granger_investigating_causal_relations" /><ref name="Geweke_measurement_linear_dependence">{{cite journal|author=Geweke J|title=Measurement of linear dependence and feedback between multiple time series|journal=Journal of the American Statistical Association|year=1982|volume=77|issue=304–13}}</ref>。

其中，<math>ge_{X_1|X_2,X_3}</math> 表示变量 <math>X_1</math> 相对于变量 <math>X_2</math> 和 <math>X_3</math> 的格兰杰涌现性。根据之前的约定，<math>\xi_{1R(11)}</math> 是从省略了 <math>A_{ab}</math> 系数的模型中得出的（如公式 (3) 所示）。如果相应的格兰杰自主性和格兰杰因果关系测量值本身在统计上显著，则线性或非线性格兰杰涌现性值可以被视为具有统计显著性。这可以通过对零假设进行 F 检验来评估，即 <math>A_{11}</math>（格兰杰自主性）和 <math>A_{12} \ldots A_n</math>（格兰杰因果关系）的系数为零。

值得注意的是，格兰杰涌现性的概念并不依赖于使用特定的非线性回归方法。还有其他更为复杂的方法比泰勒展开更不易受噪声观测的影响，并且涉及更少的参数。例如，Ancona等人<ref name="Ancona_nonlinear_granger">{{cite journal|author1=Ancona N|author2=Marinazzo D|author3=Stramaglia S|title=Radial basis function approaches to nonlinear granger causality of time series|journal=Physical Review E|year=2004|volume=70|issue=056221}}</ref>已经表明，径向基函数可以作为有效的回归核来测量非线性格兰杰因果关系。然而，出于当前的目的，泰勒方法是更可取的，因为'''（i）'''它简单易于描述和实施;'''（ii）'''统计显著性可以很容易地评估;'''（iii）'''它提供了格兰杰涌现性的明确公式（如公式 (4)）。最后，注意格兰杰涌现性的值将取决于包含在 中的微观变量集。因此，在异质系统中，可以通过识别一个格兰杰涌现集，即能够最大化 的微观变量集。

值得注意的是，格兰杰涌现性的概念并不依赖于使用特定的非线性回归方法。还有其他更为复杂的方法比泰勒展开更不易受噪声观测的影响，并且涉及更少的参数。例如，Ancona等人<ref name="Ancona_nonlinear_granger">{{cite journal|author1=Ancona N|author2=Marinazzo D|author3=Stramaglia S|title=Radial basis function approaches to nonlinear granger causality of time series|journal=Physical Review E|year=2004|volume=70|issue=056221}}</ref>已经表明，径向基函数可以作为有效的回归核来测量非线性格兰杰因果关系。然而，出于当前的目的，泰勒方法是更可取的，因为'''（i）'''它简单易于描述和实施;'''（ii）'''统计显著性可以很容易地评估;'''（iii）'''它提供了格兰杰涌现性的明确公式（如公式 (4)）。最后，注意格兰杰涌现性的值将取决于包含在 中的微观变量集。因此，在异质系统中，可以通过识别一个格兰杰涌现集，即能够最大化 的微观变量集。